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指数和に関するWeylの不等式

数学解説

加法的整数論において重要な指数和に関するWeylの不等式を示します。

Notation

実数 \alphaに対して
\begin{align*}
\| \alpha \| :=\min_{n\in \mathbb{Z}} |\alpha -n|
\end{align*}と定めます。次の諸性質は容易に示せます。

Prop1

(1) 0 \le \| \alpha \| \le 1/2 \quad (\forall \alpha \in \mathbb{R})
(2) \| \alpha +n \| =\| \alpha \| \quad (\forall \alpha \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{Z})
(3) \| \alpha \pm \beta \| \le \| \alpha \| + \| \beta \| \quad ( \forall \alpha, \beta \in \mathbb{R})
(4) \| \alpha \pm \beta \| \ge \| \alpha \| - \| \beta \| \quad (\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R})
(5) \| a \alpha \| \le |a| \cdot \| \alpha \| \quad (\forall \alpha \in \mathbb{R}, \forall a \in \mathbb{Z})
(6) \| a/q \| \ge 1/q \quad (\forall a,q \in \mathbb{Z}, a \not \equiv 0 \; (\mathrm{mod} q))
(7) | \alpha \| \le |\alpha | \quad (\forall \alpha \in \mathbb{R} )

証明 (3)と(5)のみ示す。(3)については
\begin{align*}
\| \alpha + \beta \| &= \min_{n,m \in \mathbb{Z}} |\alpha +\beta -n-m | \\
& \le \min_{n,m \in \mathbb{Z}} (|\alpha -n| + | \beta -m | )\\
& = \| \alpha \| + \| \beta \|
\end{align*}より成立。(5)については
\begin{align*}
\| a \alpha \| &= \min_{n \in \mathbb{Z}} |a\alpha -n | \\
&= |a| \cdot \min_{n\in \mathbb{Z}} \Big{|} \alpha - \frac{n}{a} \Big{|} \\
& \le |a| \cdot \min_{n\in a\mathbb{Z}} \Big{|} \alpha - \frac{n}{a} \Big{|} \\
& = |a| \cdot \|\alpha \|
\end{align*}より成立。(QED)

さらに実数 \alphaに対して
\begin{align*}
e(\alpha ) :=e^{2\pi i \alpha}
\end{align*}と定めます。明らかに e(\alpha)は周期1の関数です。

Weylの不等式

関数 \phi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}と Q \in \mathbb{N}に対して
\begin{align*}
T (\phi ; Q ) := \sum_{x=1}^Q e(\phi (x))
\end{align*}と定め、これを\phiに関する指数和と呼びます。ここで xは自然数を走ります。三角不等式から容易に
\begin{align}
{|}T(\phi, Q) | \le Q　\label{weyl 1}
\end{align}という自明な評価を導くことができますが、和はガウス平面の円周上の点を走るため打ち消しあいによって\eqref{weyl 1}よりも良い評価を得られると期待できます。それを実際に \phiが多項式の場合に実行したものが次のWeylの不等式です。

Thm2(Weyl's inequality)

k \in \mathbb{N}とする。実数 \alpha と既約分数 a/qは
\begin{align}
\Big{|}\alpha - \frac{a}{q} \Big{|} \le \frac{1}{q^2} \label{weyl 2}
\end{align}を満たしているとする。このとき \forall \varepsilon >0と最高次の係数が \alphaの任意の k次多項式
\begin{align*}
\phi (x) = \alpha x^k +\alpha_1 x^{k-1}+ \cdots + \alpha_k
\end{align*}に対して
\begin{align}
T(\phi ; Q) \ll_k Q^{1+\varepsilon}\Big{(}\frac{1}{q}+\frac{1}{Q}+\frac{q}{Q^k} \Big{)}^{1/2^{k-1}} \label{weyl 3}
\end{align}が成立。

証明はいくつか補題を用意したのち、この記事の最後に行います。ここではWeylの不等式が自明な評価\eqref{weyl 1}と比べて"良い"評価であるかを考えます。

(q \ge Q^kのとき) このときWeylの不等式\eqref{weyl 3}の右辺の因子について容易に
\begin{align*}
\Big{(}\frac{1}{q}+\frac{1}{Q}+\frac{q}{Q^k} \Big{)} \gg 1
\end{align*}が得られるため、Weylの不等式は自明な評価と比べて弱い評価しか与えていません。したがってこのときはWeylの不等式は自明に成立します。

(q < Q^kのとき) このときweylの不等式は自明な不等式よりも良い評価を与えています。実際に、Weylの不等式における \varepsilonを \varepsilon /2^{k-1}に置き換えれば
\begin{align*}
T(\phi , Q) \ll_k Q\Big{(}\frac{Q^{\varepsilon}}{q}+\frac{1}{Q^{1-\varepsilon}}+\frac{q}{Q^{k-\varepsilon}} \Big{)}^{1/2^{k-1}}
\end{align*}なので仮に Q^{2\varepsilon } \le q \le Q^{k-2\varepsilon}とするなら
\begin{align*}
&\le Q \Big{(} \frac{2}{Q^{\varepsilon}} + \frac{1}{Q^{1-\varepsilon}}\Big{)}^{1/2^{k-1}} \\
&= Q \cdot o(1) \quad (Q\to \infty )
\end{align*}となり自明な評価よりも良い評価を与えることがわかります。

注意として、不等式\eqref{weyl 2}は実数 \alphaを有理数 a/qで近似していることを表していてDiophantus近似の理論やDirichletの近似定理にモチベーションがあります。

１次多項式の場合と前進差分

まず最も単純な場合である \phiが1次多項式である場合を考察します。

Prop3

任意の実数 \alpha, \betaに対して
\begin{align}
\sum_{x=1}^Qe(\alpha x +\beta ) \ll \min \{ Q, \|\alpha \|^{-1} \} \label{weyl 4}
\end{align}が成立。

証明 まず等比数列の和公式より
\begin{align}
\Big{|} \sum_{x=1}^Qe(\alpha x +\beta )\Big{|}=\Big{|} \sum_{x=1}^Qe(\alpha)^x\Big{|}\ll \frac{2}{| 1-e(\alpha )|} \label{weyl 5}
\end{align}が成立。ここで e(\alpha )=e (\| \alpha \|)に注意して、Eulerの公式及び三角関数の倍角公式を用いれば
\begin{align*}
{|}1-e(\alpha )| =2\sin (\pi \| \alpha \| )
\end{align*}が得られる。Prop1より 0 \le \pi \| \alpha \| \le \pi /2であるからJordanの不等式*1
\begin{align*}
\frac{2}{\pi }x \le \sin x \le x \quad (0 \le x \le \frac{\pi }{2} )
\end{align*}を用いれば
\begin{align*}
{|}1-e(\alpha )| \ge 4 \| \alpha \|
\end{align*}となる。これを\eqref{weyl 5}に代入して
\begin{align*}
\sum_{x=1}^Qe(\alpha x +\beta ) \ll \| \alpha \|^{-1}
\end{align*}が得られる。指数和の自明な評価を合わせれば主張が成立することがわかる。(QED)

Prop3の系として、まったく同様の議論をすることで、区間 Iに対して
\begin{align*}
\sum_{x \in I} e(\alpha x+\beta ) \ll \min \{ |I|, \| \alpha \|^{-1} \}
\end{align*}も導くことができます。ここで |I|は区間の長さ、和は Iに含まれる自然数を走ります。

次に実関数に対する j回前進差分作用素( j \in \mathbb{N})を定義します。まず実関数 \phi (\alpha )と実数 \beta_1に対して1回前進差分作用素 \Delta_1を
\begin{align*}
\Delta_1 (\phi (\alpha ); \beta_1 ):= \phi (\alpha +\beta_1 )-\phi (\alpha )
\end{align*}と定義します。さらに実数 \beta_1, \dots ,\beta_jに対して j回前進差分作用素 \Delta_jを帰納的に
\begin{align*}
\Delta_j (\phi (\alpha ) ; \beta_1, \dots , \beta_j ) := \Delta_1 \big{(} \Delta_{j-1}( \phi (\alpha ); \beta_1, \dots ,\beta_{j-1} ) ; \beta_j \big{)}
\end{align*}と定義します。計算練習として次の命題を示します(計算練習ですがWeylの不等式の証明のアイデアの本質部分を担っています)。

Prop4

自然数 k,jと実数 \beta_1, \dots , \beta_jに対して
\begin{align}
&\Delta_j(\alpha^k ; \beta_1,\dots ,\beta_j ) \notag \\
&=\sum_{\substack{l_0 , l_1 , \dots , l_j \\ l_0 \ge 0, l_1 \ge 1 , \dots , l_j \ge 1 \\ l_0 + l_1 +\cdots +l_j =k}}\frac{k!}{l_0! l_1 ! \cdots l_j!}\alpha^{l_0}\beta_1^{l_1}\cdots \beta_j^{l_j}
\end{align}

証明 kを固定しjに関する帰納法で示す。j=1の時は二項定理より明らか。jで主張が成立していると仮定すると j+1回差分の定義より
\begin{align*}
&\Delta_{j+1}(\alpha^k ; \beta_1,\cdots ,\beta_{j+1} )\\
&=\sum_{\substack{l_0 , l_1 , \dots , l_j \\ l_0 \ge 0, l_1 \ge 1 , \dots , l_j \ge 1 \\ l_0 + l_1 +\cdots +l_j =k}}\frac{k!}{l_0! l_1 ! \cdots l_j!}\big{(}(\alpha+\beta_{j+1})^{l_0}-\alpha^{l_0} \big{)}\beta_1^{l_1}\cdots \beta_j^{l_j} \\
\end{align*}と書ける。l_0=0の項は0になるから無視できて二項定理より
\begin{align*}
=\sum_{\substack{l_0 , l_1 , \dots , l_j \\ l_0 \ge 1, l_1 \ge 1 , \dots , l_j \ge 1 \\ l_0 + l_1 +\cdots +l_j =k}}
\sum_{l_{j+1}=0}^{l_0-1}
\frac{k!}{l_1 ! \cdots l_j! l_{j+1}!(l_0-l_{j+1})!}\alpha^{l_{j+1}}\beta_1^{l_1}\cdots \beta_j^{l_j}\beta_{j+1}^{l_0-l_{j+1}}
\end{align*}ここで l_0'=l_{j+1}, l_{j+1}' =l_0-l_{j+1}と置きなおせば和は
\begin{align*}
l_0'+l_1+\cdots+l_j+l_{j+1}'=k
\end{align*}\begin{align*}
l_0' \ge 0, l_1 \ge 1, \dots , l_j \ge 1, l_{j+1}' \ge 1
\end{align*}を満たす組を走るから主張の公式が j+1でも成立する。(QED)

Prop4より \Delta_j(\alpha^k ; \beta_1,\dots ,\beta_j )は k-j次の多項式になることがわかります(微分のアナロジー)。特に
\begin{align*}
&\Delta_{k-1}(\alpha^k; \beta_1, \dots , \beta_{k-1}) =k!\beta_1 \cdots \beta_{k-1} \Big{(}\alpha +\sum_{i=1}^{k-1}\frac{\beta_i}{2}\Big{)}
\end{align*} \begin{align*}
\Delta_k (\alpha^k;\beta_1,\dots ,\beta_k) = k!\beta_1 \cdots \beta_k
\end{align*}\begin{align*}
\Delta_{k+1}(\alpha^k; \beta_1, \dots , \beta_{k+1})=0
\end{align*}などが得られます。

Weylの補題

Weylの不等式の証明のアイデアは

  1. まず T(\phi ;Q)と前進差分をつなげる式を証明する(Weylの補題)。
  2. 前進差分を繰り返して多項式 \phiの次数を1次まで落とす。
  3. 1次多項式についてはProp3の式\eqref{weyl 4}を用いることでWeylの不等式を得る。

というストーリーからなります。ここでは一つ目のステップで T(\phi ;Q)を前進差分とつなげるために必要なWeylの補題を証明します。

Lem5(Weylの補題)

任意の関数 \phiと Q,j \in \mathbb{N}に対して
\begin{align}
{|}T(\phi ; Q)|^{2^j} \le (2Q)^{2^j-j-1}\sum_{\substack{h_1,\dots ,h_j \\ |h_i|{<}Q \; (\forall i)}}T_j(\phi; h_1,\dots ,h_j) \label{weyl 7}
\end{align}が成立。ここで
\begin{align*}
T_j(\phi; h_1,\dots ,h_j) := \sum_{x\in I_j(h_1,\dots ,h_j)}e\Big{(}\Delta_j\big{(}\phi (x);h_1,\dots ,h_j\big{)}\Big{)}
\end{align*}であり、 I_j(h_1,\dots ,h_j)は
\begin{align*}
I_1(h_1) \subset [1,Q]
\end{align*}\begin{align*}
I_j (h_1,\dots ,h_j) \subset I_{j-1}(h_1, \dots ,h_{j-1})
\end{align*}を満たすある区間である。

証明 jに関する帰納法で証明する。まず j=1のときは
\begin{align*}
{|}T(\phi ;Q)|^2 = \sum_{h_1=1}^Q \sum_{x=1}^Q e(\phi (h_1)-\phi (x))
\end{align*}h_1 \to h_1+xと変数変換すると
\begin{align*}
=\sum_{x=1}^Q \sum_{h_1=1-x}^{Q-x} e\big{(}\Delta_1(\phi (x);h_1)\big{)}
\end{align*}和の順序を交換すれば
\begin{align*}
=\sum_{h_1=1-Q}^{Q-1} \sum_{\substack{1 \le x \le Q \\ 1-h_1 \le x \le Q-h_1}}e\big{(}\Delta_1(\phi (x);h_1)\big{)}
\end{align*}となるから I_1(h_1)=[1,Q] \cap [1-h_1,Q-h_1] と置けば
\begin{align*}
=\sum_{|h_1| {<} Q} \sum_{x \in I_1(h_1)}e\big{(}\Delta_1(\phi (x);h_1)\big{)}=\sum_{|h_1| {<}Q} T_1(\phi ;h_1)
\end{align*}が得られる。次にjで成立していると仮定すると
\begin{align}
{|}T(\phi; Q)|^{2^{j+1}} \le (2Q)^{2^{j+1}-2j-2}\Big{(}\sum_{\substack{h_1,\dots ,h_k \\ |h_i| {<} Q \; (\forall i)}}T_j(\phi; h_1,\dots ,h_j) \Big{)}^2 \label{weyl 8}
\end{align}と評価できる。和の部分はCauchyの不等式を用いれば
\begin{align*}
&\Big{(}\sum_{\substack{h_1,\dots ,h_k \\ |h_i| {<} Q \; (\forall i)}}T_j(\phi; h_1,\dots ,h_j) \Big{)}^2 \\
&\le \Big{(}\sum_{\substack{h_1,\dots ,h_k \\ |h_i| {<} Q \; (\forall i)}}1\Big{)}\cdot \Big{(}\sum_{\substack{h_1,\dots ,h_k \\ |h_i| {<} Q \; (\forall i)}}|T_j(\phi; h_1,\dots ,h_j) |^2 \Big{)} \\
&\le (2Q)^j \sum_{\substack{h_1,\dots ,h_k \\ |h_i| {<} Q \; (\forall i)}}|T_j(\phi; h_1,\dots ,h_j) |^2
\end{align*}であるからこれを\eqref{weyl 8}に代入して
\begin{align}
{|}T(\phi; Q)|^{2^{j+1}} \le (2Q)^{2^{j+1}-j-2}\sum_{\substack{h_1,\dots ,h_k \\ |h_i| {<} Q \; (\forall i)}}|T_j(\phi; h_1,\dots ,h_j) |^2 \label{weyl 9}
\end{align}を得る。ここで T_jの定義から
\begin{align*}
&{|}T_j(\phi; h_1,\dots ,h_j) |^2 \\
&= \sum_{h_{j+1} \in I_j(h_1,\dots ,h_j)}\sum_{x \in I_j (h_1,\dots ,h_j)}e\Big{(}\Delta_j \big{(} \phi (h_{j+1})-\phi (x);h_1, \dots h_j \big{)}\Big{)}
\end{align*}であり h_{j+1} \to h_{j+1}+xと変数変換すれば前進差分の定義より
\begin{align*}
=\sum_{x \in I_j (h_1,\dots ,h_j)} \sum_{h_{j+1}+x \in I_j (h_1,\dots ,h_j)}e\Big{(}\Delta_{j+1}\big{(} \phi (x);h_1,\dots ,h_{j+1} \big{)}\Big{)}
\end{align*}さらに定義(と帰納法の仮定)より I_j \subset [1,Q] であるから和の順序を交換して
\begin{align*}
=\sum_{h_{j+1}=1-Q}^{Q-1} \sum_{\substack{x \in I_j (h_1,\dots ,h_j)\\ x+h_{j+1} \in I_j (h_1,\dots ,h_j)}}e\Big{(}\Delta_{j+1}\big{(} \phi (x);h_1,\dots ,h_{j+1} \big{)}\Big{)}
\end{align*}を得る。したがって I_{j+1}(h_1,\dots ,h_{j+1}):=I_j(h_1,\dots ,h_j) \cap \{x | x+h_{j+1} \in I_j(h_1,\dots ,h_j) \}
と定めて\eqref{weyl 9}に代入すれば主張の式\eqref{weyl 7}が得られる。(QED)

Weylの不等式の証明

最後に一つ補題を示したのち、Weylの不等式Thm2の証明に取り掛かります。

Lem6

X,Y \ge 1とし実数 \alphaと既約分数 a/qは不等式\eqref{weyl 2}を満たすとする。このとき
\begin{align*}
S=\sum_{x\le X}\min \Big{\{ }\frac{XY}{x}, \| \alpha x \|^{-1} \Big{ \} }
\end{align*}と置くと
\begin{align}
S \ll XY\Big{(} \frac{1}{q}+\frac{1}{Y}+\frac{q}{XY} \Big{)} \log (2 Xq)
\end{align}が成立する。

証明 Sにおける和をmod qの剰余類ごとに分けることで
\begin{align*}
S&=\sum_{r=1}^q \sum_{\substack{x \equiv r \; (q) \\ x \le X}}\min \Big{\{ }\frac{XY}{x}, \| \alpha x \|^{-1} \Big{ \} } \\
&=\sum_{r=1}^q \sum_{0 \le j \le (X-r)/q} \min \Big{\{ }\frac{XY}{qj+r}, \| \alpha (qj+r)\|^{-1} \Big{ \} } \\
&\le \sum_{0\le j \le X/q} \sum_{r=1}^q \min \Big{\{ }\frac{XY}{qj+r}, \| \alpha (qj+r)\|^{-1} \Big{ \} }
\end{align*}と評価できる。次に不等式\eqref{weyl 2}をモチベーションに
\begin{align*}
\alpha (qj+r) &= \alpha q j +\alpha r - \frac{a}{q}r +\frac{a}{q}r \\
&=\frac{\alpha q^2j +ar}{q} + \frac{(\alpha q^2 - aq)r}{q^2}
\end{align*}と変形し y_j=[ \alpha q^2j ], \theta = \alpha q^2 -aq と置けば
\begin{align*}
\alpha (qj+r)=\frac{y_j+ar}{q}+\frac{ \{\alpha q^2 j \} }{q}+ \frac{\theta r}{q^2}
\end{align*}と書ける。j=0かつ r \le q/2のときはProp1の(4)から
\begin{align*}
\| \alpha r \| \ge \Big{\|} \frac{ar}{q} \Big{\|} - \Big{\|} \frac{\theta r}{q^2} \Big{\|}
\end{align*}Prop1の(5)と不等式\eqref{weyl 2}より \| \theta r /q^2 \| \le 1/2qであるから
\begin{align*}
\ge \Big{\|} \frac{ar}{q} \Big{\|} - \frac{1}{2q}
\end{align*} Prop1の(6)より \| ar/q \| \ge 1/qだから
\begin{align}
\ge \frac{1}{2}\Big{\|} \frac{ar}{q} \Big{ \|} \label{weyl 11}
\end{align}と評価できる。次に各 j \ge 0に対して\eqref{weyl 11}と同種の不等式
\begin{align}
\| \alpha (qj +r) \| \ge \frac{1}{2} \Big{\|} \frac{y_j+ar}{q}\Big{\|} \label{weyl 12}
\end{align}が成立するかどうかを考える。もし\eqref{weyl 12}が成立しない、つまり
\begin{align*}
\| \alpha (qj +r) \| {<} \frac{1}{2} \Big{\|} \frac{y_j+ar}{q}\Big{\|}
\end{align*}となっていると仮定すると j=0のときと同様の議論により
\begin{align*}
\frac{1}{2}\Big{\|} \frac{y_j+ar}{q}\Big{\|} {<} \Big{\|} \frac{ \{\alpha q^2 j \} }{q}+ \frac{\theta r}{q^2} \Big{\|}
\end{align*}さらにProp1の(7)に注意して
\begin{align*}
\le \frac{1}{q}+\frac{1}{2q} = \frac{3}{2q}
\end{align*}が成立。つまり\eqref{weyl 12}が成立しないなら
\begin{align}
\Big{\|} \frac{y_j+ar}{q}\Big{\|} {<}\frac{3}{q} \label{weyl 13}
\end{align}が成立する。今、aはqと互いに素であることより y_j+ar \; (1\le r \le q)は法 qの完全剰余系である。したがって\eqref{weyl 13}が成立するような rは jによらず多くとも五つしか存在しない。また j > 0なら qj+r \ge qj >0である。以上の議論よりSの和を

  • j=0かつ\eqref{weyl 12}が成立しない r (このときr >q/2)
  • j=0かつ\eqref{weyl 12}が成立する r
  • j\ge 1かつ \eqref{weyl 12}が成立しない r
  • j \ge 1かつ\eqref{weyl 12}が成立する r

の四つに分けて評価すれば
\begin{align*}
S \ll &\frac{XY}{q} +\sum_{1\le r \le q-1}\Big{\|} \frac{ar}{q} \Big{\|}^{-1}\\
&+\sum_{1 \le j \le X/q}\frac{XY}{qj} + \sum_{1 \le j \le X/q} \sum_{\substack{r=1 \\ q \nmid y_j+ar }}^q \Big{\|} \frac{y_j+ar}{q} \Big{\|}^{-1}
\end{align*} を得る。さらに各項は
\begin{align*}
&\mathrm{第2項} \le \sum_{r=1}^{q-1}\Big{\|} \frac{ar}{q} \Big{\|}^{-1}\ll \sum_{1\le h \le q/2} \frac{q}{h}\\
&\mathrm{第3項} \le \frac{XY}{q}\sum_{1\le j \le X} \frac{1}{j}\\
&\mathrm{第4項} \ll \sum_{1\le j\le X/q} \sum_{1\le h \le q/2} \frac{q}{h} \le \frac{X}{q} \sum_{1\le h \le q/2} \frac{q}{h}
\end{align*}と評価できるから
\begin{align*}
S &\ll \frac{XY}{q}\log (2X) +q \log (2q) + X\log (2q) \\
&\ll XY\Big{(} \frac{1}{q}+ \frac{1}{Y} +\frac{q}{XY} \Big{)}\log (2Xq)
\end{align*}が得られる。(QED)

それではWeylの不等式の証明を行います。

Weylの不等式Thm2の証明 目標の不等式\eqref{weyl 3}を示すためには
\begin{align*}
{|}T(\phi ;Q)|^{2^{k-1}} \ll_k Q^{2^{k-1}+\varepsilon }\Big{(}\frac{1}{q}+\frac{1}{Q}+\frac{q}{Q^k}\Big{)}
\end{align*}を示せばよい。Weylの補題Lem5を j=k-1として用いれば
\begin{align}
{|}T(\phi ;Q)|^{2^{k-1}} \ll_k Q^{2^{k-1}-k}\sum_{\substack{h_1,\dots , h_{k-1} \\ |h_i| {<} Q \; (\forall i)}}T_{k-1} (\phi ; h_1,\dots ,h_{k-1}) \label{weyl 14}
\end{align}が得られる。ここで和の部分は h=k!h_1\cdots h_{k-1}, I_{k-1}=I_{k-1}(h_1,\dots ,h_{k-1})と置けば具体的に
\begin{align*}
\sum_{\substack{h_1,\dots , h_{k-1} \\ |h_i| {<} Q \; (\forall i)}}\sum_{x\in I_{k-1}}e \Big{(}h \alpha \big{(}x+\sum_{i=1}^{k-1} \frac{h_i}{2}\big{)}+\frac{(k-1)!}{k!}h \alpha_1 \Big{)}
\end{align*}と書くことができる。この和のうち h=0となる項の影響は |I_{k-1}| \le Qに注意すれば
\begin{align}
\ll Q\sum_{\substack{ h_1, \dots ,h_{k-1} \\ |h_i| < Q \; (\forall i) \\ h=0}} \ll Q^{k-1} \label{weyl 15}
\end{align} h\neq 0となる項の影響はProp3(及びその後の系)より
\begin{align*}
\ll \sum_{\substack{ h_1, \dots ,h_{k-1} \\ |h_i| < Q \; (\forall i) \\ h\neq 0}} \min \{Q, \| \alpha h \| \}^{-1}
\end{align*}となる。さらに \| \alpha h\| =\| -\alpha h \|に注意して 1 \le h \le k!Q^{k-1}の和にまとめなおせば
\begin{align*}
\ll \sum_{h=1}^{k!Q^{k-1}}\rho (h) \min \{Q, \| \alpha h \| \}^{-1}
\end{align*}ここで \rho (h)は hに対して
\begin{align*}
k!h_1 \cdots h_{k-1} =h , |h_i| {<}Q
\end{align*}を満たす整数の組 h_1, \dots ,h_{k-1}の個数である。h_iの正負の符号の選び方は高々 O_k(1)個なので約数関数の評価を考えれば*2\begin{align*}
\rho (h) \ll d (h) \ll h^{\varepsilon /(k-1)}
\end{align*}となるから結局 h\neq 0なる項の影響は
\begin{align}
\ll Q^{\varepsilon} \sum_{h=1}^{k!Q^{k-1}}\min \{Q, \| \alpha h \| \}^{-1} \label{weyl 16}
\end{align}となる。評価\eqref{weyl 15} \eqref{weyl 16}を\eqref{weyl 14}に代入すれば
\begin{align*}
{|}T(\phi ;Q)|^{2^{k-1}} &\ll_k Q^{2^{k-1}-k+\varepsilon} \Big{(}Q^{k-1}+\sum_{h=1}^{k!Q^{k-1}} \min \{ Q, \| \alpha h \|^{-1} \} \\
& \ll Q^{2^{k-1}-k+\varepsilon} \Big{(}Q^{k-1}+\sum_{h=1}^{k!Q^{k-1}} \min \Big{\{} \frac{k!Q^k}{h}, \| \alpha h \|^{-1} \Big{ \} } \Big{)}
\end{align*}最後の和にLem6を X=k!Q^{k-1},Y=Qとして適用すれば
\begin{align*}
\ll Q^{2^{k-1}+\varepsilon} \Big{(}\frac{1}{q}+\frac{1}{Q}+\frac{q}{Q^k} \Big{)} \log (2qQ^{k-1})
\end{align*}が得られる。ここでもし q < Q^kと仮定するなら \log (2qQ^{k-1}) \ll Q^{\varepsilon}となるので
\begin{align*}
\ll Q^{2^{k-1}+2\varepsilon} \Big{(}\frac{1}{q}+\frac{1}{Q}+\frac{q}{Q^k} \Big{)}
\end{align*}となり証明が完了する。一方 q\ge Q^kなら先の議論よりWeylの不等式は自明に成立。以上よりThm2が証明された。(QED)

参考文献

The Hardy-Littlewood Method (Cambridge Tracts in Mathematics)

*1:参照: ジョルダンの不等式とその３通りの証明 | 高校数学の美しい物語

*2:参照:自然数をいくつかの自然数の積で表す方法の数について - プライムス