プライムス

大学院生の数学ノート

記号・定義について

プライムスでよく使われている記号や定義をリストアップしますので適宜ご参照ください。

記号のリスト
数論的関数のリスト
関数のリスト
漸近記法

記号のリスト

$(a,b)$ : $a$ と $b$ の最大公約数
$[a,b]$ : $a$ と $b$ の最小公倍数
$a \equiv b \pmod{q}$ を単に $a \equiv b \;(q)$ と書くことがある
$\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$ の元は $n+q\mathbb{Z}$ と書く

数論的関数のリスト

$\varphi (n)$ :Eulerのトーシェント関数で
$\Lambda (n)$ :von Mangoldt関数
$\chi (n)$ :Dirichlet指標
$\bar{\chi}$ :指標 $\chi$ の複素共役
$\chi_0 (n)$ :自明Dirichlet指標
$\mu (n)$ :Möbius関数
$\omega (n)$ : $n$ の相異なる素因数の個数

関数のリスト

$x{>}0$ に対して

\begin{align}
\psi (x)=\sum_{n \le x}\Lambda (n)
\end{align}としChebyshev関数という。

$(a,q)=1$ に対して

\begin{align}
\psi (x;q,a)=\sum_{\substack{n\le x \\ n \equiv a\; (q)}}\Lambda (n)
\end{align}とし等差数列に関するChebyshev関数という。

Dirichlet指標 $\chi (n)$ に対して

\begin{align}
\psi (x, \chi) =\sum_{n \le x} \chi (n)\Lambda (n)
\end{align}とし指標付きChebyshev関数という。

漸近記法

関数の漸近的な挙動を記述する記法がいくつかあります。ここでまとめますが詳しくはランダウの記号 - Wikipedia等を見てください。

ここでは $f(z):\mathbb{C}\to \mathbb{C},g(z):\mathbb{C} \to \mathbb{R_{\ge 0}}$ とし $D\subset \mathbb{C}$ とします。

定義(Landauの記法)

$f(z)=O(g(z)) \quad (z\in D)$ であるとは、ある定数 $C>0$ が存在して
\begin{align}
{|} f(z) | \le Cg(z) \quad (z \in D)
\end{align}となることを言う。

定義(Vinogradov記号)

$f(z) \ll g(z) \quad (z\in D)$ であるとは、 $f(z)=O(g(z)) \quad (z\in D)$ であることと定める。

混乱がない場合はLandau記法及びVinogradov記号の成立域 $(z \in D)$ を省略することがあります。ご容赦ください。

定義(漸近等式)

$f,g$ は $a\in [-\infty ,\infty ]$ の近くで定義されている関数とする。このとき $f(x) \sim g(x)\; (x\to a)$ であるとは
\begin{align}
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=1
\end{align}が成り立つことと定める。