双子素数予想の解決に向けたアプローチの歴史を紹介するとともに、Erdősによる最初の結果を紹介します。

Selbergの上界篩を解説し、応用として双子素数の個数の上界を計算します。

原始根やべき乗剰余についてDirichlet指標との関係を紹介します。応用として最小原始根問題について考えます。

原始根を用いた指数計算について紹介します。

整数論における原始根について紹介します。ここでは素数pを法とする原始根について考察し、Artin予想を導入します。

篩法における最初の研究結果であるBrunの純正篩について解説します。応用として双子素数に関するBrunの定理及び、n,n+2の素因数の個数の評価を与えます。

篩法の入門的な記事です。Legendreの篩を通して双子素数予想やGoldbach予想に対するアプローチの可能性を探ります。

素数を調べる際に強力な手法である篩法についての入門記事です。今回は篩法の原点であるEratosthenesの篩と双子素数予想などとの関わりについて書きました。

Dirichlet L関数を導入し、その基本的性質やEuler積表示、さらに関数等式を証明します。

Hardy-Littlewoodの円周法を学ぼう最終回です。前回導入した特異積分と特異級数について議論し、当初の目標であったWaringの問題に関する結果を証明して締めくくります。

Hardy-Littlewoodの円周法を学ぼう第三回です。今回はWaringの問題に関する特異級数と特異積分を導入し、Major arc上の積分の漸近評価を与えます。

Hardy-Littlewoodの円周法を学ぼう第二回です。今回はWaringの問題に関連するMajor arcとMinor arcを導入し、Minor arcにおける議論を学びます。

自然数をべき乗数の和に分割する方法を題材にHardy-Littlewoodの円周法を勉強します。この記事では円周法の根底のアイデアを紹介し、さらにHuaの補題を証明します。

指数和に関するWeylの不等式を証明します。Hardy-Littlewoodの円周法を通してWaringの問題やGoldbachの問題などに応用があります。

Dirichlet指標についてまとめました。Dirichlet指標は素数分布論や解析数論における基礎的かつ重要な数論的関数です。

自然数nに対してnの素因数の個数について考えます。この問題に関連して一般化von Mangoldt関数を紹介します。

有限アーベル群の指標についてまとめました。

Dirichlet指標のGauss和についてまとめました。原始的指標に対するGauss和の絶対値を求めることが目標です。

算術級数の素数定理のその先に関する諸結果をまとめました。算術級数の素数定理に関するより深い議論や、最新の双子素数予想に関する研究などに応用されている重要な結果などを紹介します。

解析数論における最重要公式の一つ「リーマンゼータ関数の関数等式」を証明します。さらに応用としてリーマンゼータ関数の零点分布について考えます。

数論の応用で重要なPoissonの和公式を証明します。さらに応用としてテータ関数のモジュラー関係式と呼ばれる公式を示します。

自然数をいくつかの自然数の積で表す方法にの数について考えます。さらに約数問題と呼ばれるリーマンゼータ関数に関連する問題を紹介します。

Dirichletの畳み込み積についていくつかの性質とともに紹介します。さらに応用としてMöbiusの反転公式の証明とDirichlet級数への応用を与えます。

2020年4月3日、京都大学の望月先生が書かれたABC予想に関する論文が無事アクセプトされたと発表されました。この記事ではABC予想とはなにかについて紹介します。