プライムス

大学院生の数学ノート

Legendreの篩と篩法入門

篩法の入門的な記事です。Legendreの篩を通して双子素数予想やGoldbach予想に対するアプローチの可能性を探ります。

Eratosthenesの篩(ふるい)と篩法

素数を調べる際に強力な手法である篩法についての入門記事です。今回は篩法の原点であるEratosthenesの篩と双子素数予想などとの関わりについて書きました。

Dirichlet L関数の基本性質と関数等式

Dirichlet L関数を導入し、その基本的性質やEuler積表示、さらに関数等式を証明します。

自然数の分割とHardy-Littlewoodの円周法④

Hardy-Littlewoodの円周法を学ぼう最終回です。前回導入した特異積分と特異級数について議論し、当初の目標であったWaringの問題に関する結果を証明して締めくくります。

自然数の分割とHardy-Littlewoodの円周法③

Hardy-Littlewoodの円周法を学ぼう第三回です。今回はWaringの問題に関する特異級数と特異積分を導入し、Major arc上の積分の漸近評価を与えます。

自然数の分割とHardy-Littlewoodの円周法②

Hardy-Littlewoodの円周法を学ぼう第二回です。今回はWaringの問題に関連するMajor arcとMinor arcを導入し、Minor arcにおける議論を学びます。

自然数の分割とHardy-Littlewoodの円周法①

自然数をべき乗数の和に分割する方法を題材にHardy-Littlewoodの円周法を勉強します。この記事では円周法の根底のアイデアを紹介し、さらにHuaの補題を証明します。

指数和に関するWeylの不等式

指数和に関するWeylの不等式を証明します。Hardy-Littlewoodの円周法を通してWaringの問題やGoldbachの問題などに応用があります。

Dirichlet指標について

Dirichlet指標についてまとめました。Dirichlet指標は素数分布論や解析数論における基礎的かつ重要な数論的関数です。