解析数論における主要な方法であるHardy-Littlewoodの円周法についてWaring問題を題材にまとめていきます。
参考文献
(1)The Hardy-Littlewood Method (Cambridge Tracts in Mathematics)円周法の代表的なテキストです。
(2)Linnik’s Proof of the Waring–Hilbert Theorem
後述のHilbertの定理の証明が読めます。
論文URL:https://lup.lub.lu.se/luur/download?func=downloadFile&recordOId=8874794&fileOId=8874796
(3)LECTURE NOTES OF WILLIAM CHEN
William Chen氏によって運営されているブログで公開されているLecture noteです。
URL:http://www.williamchen-mathematics.info/lnhlmfolder/lnhlm.html
自然数の分割とWaringの問題
Hardy-Littlewoodの円周法はWaringの問題やGoldbach予想に代表される加法的数論において篩法と並ぶ重要手法です。この記事では円周法を通して、自然数 を
\begin{align*}
n=m_1^k+ \cdots +m_s^k
\end{align*}と 個の 乗数の和に分割する方法について考えていきます。これは上述のWaringの問題と呼ばれる加法的数論の問題と関連しています。
Waringの問題とは古典的には任意の自然数 に対して
を満たす は存在するか?という問題です。この問題はHilbertにより1909年に解決されました。
任意の自然数 に対してある自然数 が存在して全ての自然数は 個の 乗数の和で表すことができる。
今回はHardy-Littlewoodの円周法を勉強することがメインなのでこの定理の証明は参考文献(2)などを参照してください。
既に解決済みのWaringの問題ですが、現在では以下のように新たに定式化されて活発に研究されています。
自然数 に対しThm1で存在が保証されている の最小値を と置く。の値を求めよ。
を求める問題と関連して を
を満たす の最少値と定めます。これら二つの関数 の値を求めることが現代版のWaringの問題です。そしてこの関数の値を評価するために有効な手法がHardy-Littlewoodの円周法なのです。
この記事では次の定理を目標に勉強していきます。
不等式
\begin{align*}
G(k)\le 2^k+1
\end{align*}が成り立つ。
Vinogradovの着想
Waringの問題について考えるために関連する関数 を、自然数 に対して\begin{align*}
R(n)=\# \{(m_1,\dots ,m_s)\in \mathbb{N}^s| n=m_1^k+\cdots +m_s^k \}
\end{align*}と定義します。は を 個の 乗数の和として書く方法の数を表しています。もし仮に に対して
\begin{align*}
R(n) \ge 1 \quad (n\to \infty)
\end{align*}を示すことができれば、十分大きな を 個の 乗数の和で表す方法が1通り以上あることがわかるので目標のThm2が従います。
を調べるためVinogradovは 自然数に対して関数
\begin{align*}
f(\alpha ):=\sum_{m=1}^N e(\alpha m^k) \quad (\alpha \in \mathrm{R} )
\end{align*}を導入しました。ここで とし とします。は次のように と関係します。
に対して
\begin{align*}
f(\alpha )^s=\sum_{m=1}^{sN^k}R_N(m) e(\alpha m)
\end{align*}が成り立つ。ここで
\begin{align*}
R_N(m)=\# \{ (m_1,\dots ,m_k) | m =m_1^k+\dots + m_s^k, m_i \le N (\forall i ) \}
\end{align*}とする。
証明 を展開すると
\begin{align*}
f(\alpha )^s = \sum_{m_1=1}^N\cdots \sum_{m_s=1}^Ne\big{(}\alpha(m_1^k+\cdots m_s^k)\big{)}
\end{align*}と置けば であり、各 が現れる回数は 回であるから
\begin{align*}
=\sum_{m=1}^{sN^k}R_N(m)e(\alpha m)
\end{align*}が従う。(QED)
に対してLem3をモチベーションに を に関連付けられないか考えます。まず ととることでLem3より
\begin{align}
f (\alpha )^s=\sum_{m=1}^{sn}e(\alpha m) \label{vin1}
\end{align}と書き直すことができます。このとき はその定義より
\begin{align}
R_N(m)=R(m) \quad (m \le n) \label{vin2}
\end{align}が成り立ちます。さらに簡単な積分計算により整数 に対して
\begin{align}
\int_0^1 e(\alpha h)d\alpha =
\begin{cases}
1 \quad &( h=0)\\
0 \quad &( h\neq 0)
\end{cases}\label{vin3}
\end{align}がわかります。\eqref{vin1}\eqref{vin2}\eqref{vin3}を合わせて次が得られます。
自然数 に対して とし、関数 を
\begin{align*}
f(\alpha )= \sum_{m=1}^Ne(\alpha m^k)
\end{align*}\begin{align*}
R(m)=\# \{(m_1,\dots ,m_s)\in \mathbb{N}^s| m=m_1^k+\cdots +m_s^k \}
\end{align*}と定義する。このとき
\begin{align}
R(n)=\int_0^1 f(\alpha )^s e(-\alpha n)d\alpha \label{vin4}
\end{align}が成立。
余談ですが\eqref{vin3}はFourier解析における基本の等式であり\eqref{vin4}は周期1の関数 の第 Fourier係数になっています。
なぜ"円周法"なのか
これまでの議論では一切"円"は出てきませんでした。それではなぜ"円周法"と呼ばれるのでしょうか。実は上述のVinogradovのアイデアはHardy-Littlewoodの円周法を元に整理したもので、Hardy-Littlewood(及びRamanujan)によりもともと考えられていたものは関数 の代わりに複素べき級数\begin{align*}
F(z)=\sum_{m=1}^{\infty}R(m)z^m \quad (|z|<1)
\end{align*}を考察するというものでした。を半径 で原点中心の円とすれば留数定理により
\begin{align*}
R(n)=\int_{B_{\rho} (0)} F(z)z^{-n-1}dz
\end{align*}が成立します。つまり を円周上の積分として表現することができ、これが円周法の名前の由来となりました。現在ではべき級数の の代わりにより扱いやすい が用いられているようです。このような歴史から例えば、区間 (interval)のことを弧(arc)と呼んだりすることがあります。
Huaの補題
比較的簡単に証明できるHuaの補題を示します。証明のためにWeylの不等式と前進差分を用います。Weylの不等式と前進差分などの指数和に関する事実はmathnote.info
にて紹介していますのでご参照ください。
を自然数とし関数 を
\begin{align*}
f(\alpha )=\sum_{m=1}^Ne(\alpha m^k)
\end{align*}と置く。この時 と任意の に対して
\begin{align}
\int_0^1 |f(\alpha )|^{2^j} d\alpha \ll_k N^{2^j-j+\varepsilon} \quad (N\to \infty ) \label{hua1}
\end{align}が成立
証明 に関する帰納法で証明する。
( のとき) は周期1でありその第 Fourier係数は
\begin{align*}
c_n=\int_0^1f(\alpha )e(-n\alpha )d\alpha =
\begin{cases}
1 \quad &( n=m^k ,1\le \exists m \le N) \\
0 \quad &(\mathrm{otherwise})
\end{cases}
\end{align*}で与えられる。従って周期1の関数に対するPersevalの等式を用いれば
\begin{align*}
\int_0^1|f(\alpha )|2d\alpha =\sum_{n}|c_n|^2=N
\end{align*}となり主張が従う。
(帰納法のStep) 今、なるある に対して\eqref{hua1}が成立していると仮定する。以下二つの方法で関数 を評価する。
(一つ目の方法) 実関数 に対して
\begin{align*}
T(\phi ; N)=\sum_{m=1}^Ne\big{(}\phi (m)\big{)}
\end{align*}と定める。ここで実数 に対し と取れば
\begin{align*}
f(\alpha )=T(\phi , N)
\end{align*}と表現することができる。指数和に関するWeylの不等式 - プライムスのProp4で計算したように、個の実数 に対する の 回前進差分は
\begin{align*}
\Delta_j (\alpha x^k ; h_1,\dots ,h_j )=\alpha h_1\cdots h_j p_j(x; h_1,\dots ,h_j)
\end{align*}と書くことができる。ここで は係数が から定まる の 整数係数次多項式である。したがって指数和に関するWeylの不等式 - プライムスのLem5(Weylの補題)を用いれば、ある区間の族 が存在して
\begin{align}
&{|}f(\alpha )|^{2^j}=|T(\phi ; N)|^{2^j}\notag \\
&\ll N^{2^j-j-1} \sum_{\substack{h_1,\dots ,h_j \\ |h_i|{<}N \; (\forall i) }}\sum_{x \in I_j} e\big{(}\alpha h_1\cdots h_j p_j(x; h_1,\dots ,h_j)\big{)} \notag \\
&= N^{2^j-j-1}\sum_{h\in \mathbb{Z}}\rho (n) e(\alpha h) \label{hua2}
\end{align}と評価できる。ここで は整数 を
\begin{align*}
h=h_1\cdots h_j p_j (x ; h_1,\dots ,h_j), |h_i | {<}N \; (\forall i) ,x\in I_j
\end{align*}と表現する方法の数を表している。1変数多項式 に を代入したとき、同じ値が現れる回数は高々 回である。さらに与えられた整数 を と分解したときの各 の正負の符号の選び方も高々 個である。したがって一般約数関数 に対して成立する評価*1\begin{align*}
d_{j+1}(h) \ll h^{\varepsilon/2k} \quad (h \in \mathbb{N})
\end{align*}を合わせれば
\begin{align}
\rho (0) \ll N^j, \rho (h) \ll h^{\varepsilon/2k} \ll N^{\varepsilon} \; (h\neq 0) \label{hua3}
\end{align}と評価できる。ここで最後の不等式は が定義から において一様に と評価できることから上述の和が の上を走ることより従う。
(二つ目の方法) 複素共役を用いて
\begin{align*}
{|}f(\alpha )|^{2^j}=|f( \alpha)|^{2^{j-1}\cdot 2}=f(\alpha )^{2^{j-1}}f(-\alpha )^{2^{j-1}}
\end{align*}として右辺を展開すると
\begin{align}
= \sum_{h}\sigma (h) e(\alpha h) \label{hua4}
\end{align}と表せる。ここで は
\begin{align*}
h=m_1^k+\cdots +m_{2^{j-1}}^k-l_1^k-\cdots -l_{2^{j-1}}^k \quad (1\le m_i,l_i \le N)
\end{align*}と表示する方法の数である。\eqref{hua4}に を代入することで
\begin{align}
\sum_{h}\sigma (h) = f(0)^{2^j}=N^{2^j} \label{hua5}
\end{align}が得られ、さらに\eqref{vin3}と帰納法の仮定により
\begin{align}
\sigma (0)=\int_0^1|f(\alpha )|^{2^j}d\alpha \ll N^{2^j-j+\varepsilon} \label{hua6}
\end{align}が得られる。
(帰納法の結論) \eqref{vin3}に注意して \eqref{hua2}及び \eqref{hua4}を用いれば
\begin{align*}
\int_0^1|f (\alpha )|^{2^{j+1}}d\alpha&=\int_0^1|f( \alpha )|^{2^j}| \overline{f( \alpha )}|^{2^j}d\alpha \\
&\ll N^{2^j-j-1}\Big{(}\rho (0) \sigma (0) + \sum_{h \neq 0} \rho (h) \sigma (h)\Big{)}
\end{align*}と評価できる。これに\eqref{hua3} \eqref{hua5} \eqref{hua6}を代入すれば帰納法の仮定の下で
\begin{align*}
\ll N^{2^{j+1}-(j+1)+\varepsilon}
\end{align*}が得られる。以上よりLem5の主張が証明された。(QED)
おわりに
次回「Major arcとMinor arc」につづく