自然数の分割とHardy-Littlewoodの円周法③

引き続きHardy-Littlewoodの円周法を学びます。

前回の記事はこちら↓↓
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参考文献
前回までの復習
Major arc上での近似
特異級数
特異積分
まとめ -Major arc上の漸近公式-
おわりに

参考文献

The Hardy-Littlewood Method (Cambridge Tracts in Mathematics)

リンク

前回までの復習

自然数 $k\ge 2$ は固定します。特に断りなくオーダー定数は $k$ に依存することとします。またオーダー評価はすべて十分大きい $n$ で成り立つこととします。

・第一回の記事の内容
考察対象は自然数 $n$ を
\begin{align*}
n=m_1^k+\cdots +m_s^k
\end{align*}と $s$ 個の $k$ 乗数で表す方法についてです。自然数 $n,k,s$ に対して $N=[n^{1/k}]$ と置き
\begin{align*}
&f( \alpha )= \sum_{m=1}^N e(\alpha m^k) \\
&R(n)=\{ (m_1,\dots ,m_s ) | n=m_1^k +\cdots +m_s^k \}
\end{align*}
と定めると
\begin{align*}R(n)=\int_0^1f(\alpha )^s e(-\alpha n)d\alpha
\end{align*}となることを確かめました。

・題二回の記事の内容
十分小さい $\nu >0$ を取り $1 \le a \le q \le N^{\nu}$ に対して
\begin{align*}
\mathfrak{M}(q,a) = \{ \alpha \; | \; |\alpha - a/q | \le N^{\nu -k} \}
\end{align*}と定め、 $\mathfrak{M}(q,a)$ の和集合 $\mathfrak{M}$ をMojor arcと定義しました。このとき次が成立することを証明しました。

Thm1

$k$ のみに依存するある定数 $\delta=\delta_k>0$ が存在して $s>2^k$ に対し\begin{align*}
R(n)=\int_{\mathfrak{M}}f(\alpha )^se(-\alpha n) d\alpha +O_k(n^{s/k-1-\delta}) \quad (n\to \infty )
\end{align*}が成り立つ。

今回はMajor arcの上での $f(\alpha )$ の挙動を詳しく調べます。

Major arc上での近似

まず最初に $f(\alpha )$ をMajor arc上でどのような関数を用いて近似できるかを考えます。近似関数の見つけ方として

無限和を有限和で打ち切る(もしくはその逆)
値を平均値で打ち切る
確率を考える

などの方法が一般的です。この方針で $f(\alpha )$ の漸近公式を見つけます。
$\chi_k(m)$ を
\begin{align*}
\chi_k(m)=
\begin{cases}
1 \quad &(m\mathrm{は}k\mathrm{乗数}) \\
0 \quad &(\mathrm{otherwise})
\end{cases}
\end{align*}と定めておけば $f (\alpha )$ の定義より
\begin{align*}
f(\alpha )=\sum_{m=1}^n\chi_k(m)e(\alpha m)
\end{align*}と書けます。 $\alpha \in \mathfrak{M}(q,a)$ と仮定して $\alpha -a/q$ を作り出すために
\begin{align}
=\sum_{m=1}^n \chi_k(m) e\Big{(}\big{(}\alpha -\frac{a}{q} \big{)}m\Big{)}e\Big{(}\frac{a}{q}m\Big{)} \label{zen1}
\end{align}と変形しておきます。
もし $k$ 乗数がmod $q$ でどのように分布しているのかが分かれば $e(am/q)$ の値を求めることができますが、残念ながら今そのような情報は持ち合わせていません。そこでこの値はmod $q$ での平均値
\begin{align}
\frac{1}{q}\sum_{r=1}^q e\Big{(}\frac{a}{q}r^k\Big{)} \label{zen2}
\end{align}で置き換えることにします。
次に $\chi_k(m)$ の方は $m$ が $k$ 乗数である(ヒューリスティックな)確率で置き換えます。自然数 $l$ に対してとなりあった $k$ 乗数
\begin{align*}
(l-1)^k \; , l^k \; , (l+1)^k
\end{align*}を考えるとその区間の平均はおよそ $kl^{k-1}$ くらいの長さです。つまり $l^k$ からみて大体 $kl^{k-1}$ くらいの区間に1個は $k$ 乗数があります。同じことを $l^k$ を自然数 $m$ で置き換えて考えれば $m$ の付近 $km^{1-1/k}$ くらいの長さの区間に一つは $k$ 乗数があると考えられます。したがって $m$ が $k$ 乗数である確率は
\begin{align}
\frac{1}{k}m^{1/k-1} \label{zen3}
\end{align}くらいであると考えられます。
\eqref{zen1}の適切な部分を\eqref{zen2} \eqref{zen3}で置き換えることでだいたい
\begin{align*}
f(\alpha ) \sim \frac{1}{q}\left(\sum_{r=1}^q e\left( \frac{a}{q}r^k \right) \right) \left( \sum_{m=1}^n \frac{1}{k}m^{1/k-1}e\left( \left( \alpha -\frac{a}{q} \right) m \right) \right)
\end{align*}であろうと予想できます。実際に次の形でこの漸近公式を実現することができます。

Lem2

$1\le a \le q \le N^{\nu}, (a,q)=1$ なる自然数 $a,q$ に対し
\begin{align*}
v(\beta )=\sum_{m=1}^n\frac{1}{k}m^{1/k-1}e(\beta m)
\end{align*}\begin{align*}
S(q,a)=\sum_{m=1}^qe\left( \frac{a}{q}m^k \right)
\end{align*}と定める。このとき $\alpha \in \mathfrak{M}(q,a)$ に対し
\begin{align*}
f(\alpha )=\frac{1}{q}S(q,a)v\left( \alpha -\frac{a}{q}\right) +O_k\left( N^{2\nu} \right)\end{align*}が成立。

証明 $\beta=\alpha -a/q$ と置く。数列 $c_m$ を
\begin{align*}
c_m=\chi_k(m)e \left( \frac{a}{q}m \right) -\frac{1}{q}S(q,a)\frac{1}{k}m^{1/k-1}
\end{align*}と置けば
\begin{align}
f(\alpha )-\frac{1}{q}S(q,a)v\left( \alpha -\frac{a}{q}\right) = \sum_{m=1}^nc_me(\beta m) \label{zen4}
\end{align}と書ける。この式にAbelの総和公式*1を用いるために $\sum c_m$ を評価する。まず
\begin{align*}
\sum_{m=1}^N e\left( \frac{a}{q}m^k \right) &= \sum_{r=1}^q \sum_{\substack{m=1 \\ m\equiv r \; (\mathrm{mod} \; q) }}^N e\left( \frac{a}{q}m^k \right) \\
&=\sum_{r=1}^q e\left( \frac{a}{q}r^k \right) \sum_{\substack{m=1 \\ m\equiv r \; (\mathrm{mod} \; q) }}^N1 \\
&= \frac{N}{q}S(q,a) +O(q)
\end{align*}が成立。一方でEuler-Maclaurinの和公式*2 *3を用いれば
\begin{align}
\sum_{m=1}^n\frac{1}{k}m^{1/k-1}&=\int_1^{n}\frac{1}{k}x^{1/k-1}\; dx +O(1) \notag \\
&=n^{1/k}+O(1) =N+O(1) \label{zen5}
\end{align}が得られる。従って
\begin{align*}
\sum_{m=1}^nc_m &=\sum_{m=1}^Ne\left( \frac{a}{q}m^k \right) -\frac{1}{q}S(q,a)\sum_{m=1}^{N^k} \frac{1}{k}m^{1/k-1} \ll q
\end{align*}と評価される。
以上の議論よりAbelの和公式を用いることで、 $q\le N^{\nu}, |\beta | \le N^{\nu -k}$ に注意して
\begin{align*}
\sum_{m=1}^nc_me(\beta m) \ll \left( 1+2\pi |\beta | n \right) q \ll N^{2\nu}
\end{align*}を得る。これと\eqref{zen4}より題意が従う。(QED)

Lem2で得られた評価をThm1における $R(n)$ の公式に代入すると次の公式が得られます。

Lem3

$\mathfrak{S}^*(n),J^*(n)$ を
\begin{align*}
\mathfrak{S}^*(n) =\sum_{q\le N^{\nu}} \sum_{\substack{a=1\\ (a,q)=1}}^q \frac{1}{q^s}S(q,a)^s e\left( -\frac{a}{q}n \right)
\end{align*}\begin{align*}
J^*(n)=\int_{-N^{\nu-k}}^{N^{\nu-k}}v(\beta )^s e(-\beta n)d\beta
\end{align*}と定めると、ある定数 $\delta =\delta_ {>}0$ が存在して $s>2^k$ に対し
\begin{align*}
R(n)=\mathfrak{S}^*(n)J^*(n)+O\left( n^{s/k-1-\delta} \right)
\end{align*}が成立。

証明 Thm1よりMajor arc上の積分に対して
\begin{align}
\int_{\mathfrak{M}}f(\alpha )^se(-\alpha n) d\alpha = \mathfrak{S}^*(n)J^*(n)+O\left( n^{s/k-1-\delta} \right) \label{zen6}
\end{align}を示せば主張が従う。
\begin{align*}
V(\alpha ;q,a)=\frac{1}{q}S(q,a)v\left( \alpha -\frac{a}{q} \right)
\end{align*}と定義する。このとき\eqref{zen5}より
\begin{align*}
V(\alpha ;q,a) \ll N
\end{align*}が従う。 $1\le a \le q \le N^{\nu},(q,a)=1, \alpha \in \mathfrak{M}(q,a)$ ならLem2より、因数分解*4をすることで
\begin{align*}
f(\alpha )^s-V( \alpha ;q,a)^s \ll N^{2\nu}N^{s-1} = N^{s-1+2\nu }
\end{align*}が得られる。区間 $\mathfrak{M}(q,a)$ の長さが $2N^{\nu-k}$ であることに注意すれば
\begin{align*}
&\int_{\mathfrak{M}(q,a)} f(\alpha )^s e(-\alpha n) \; d\alpha \\ &=\int_{\mathfrak{M}(q,a)}V(\alpha ;q,a)^s e(-\alpha n) \; d\alpha +O\left( N^{s-k-1+3\nu} \right)
\end{align*} が成立。したがって $a,q$ に渡って足し合わせれば
\begin{align*}
\int_{\mathfrak{M}}f(\alpha )^s e(-\alpha n) \; d\alpha &=R^*(n)+O\left( N^{s-k-1+5\nu} \right) \\
&=R^*(n) +O\left( n^{s/k-1 - \delta }\right)
\end{align*}が得られる。ここで
\begin{align*}
&R^*(n)=\sum_{q\le N^{\nu}} \sum_{\substack{a=1 \\ (q,a)=1}}^q \int_{\mathfrak{M}(q,a)}V(\alpha ;q,a)^s e(-\alpha n) \; d\alpha \\
\end{align*}であり、 $\delta = (1-5\nu )/k$ である。 $\nu$ が小さければ $\delta>0$ となる。容易に
\begin{align*}
R^*(n)=\mathfrak{S}^*(n)J^*(n)
\end{align*}と分解できるので\eqref{zen6}が得られた。したがって主張が示された。(QED)

特異級数

Lem3で得られた $R(n)$ の漸近公式で現れた $\mathfrak{S}^*(n),J^*(n)$ をもう少しだけ単純化していきます。ここでは $\mathfrak{S}^*(n)$ について考えます。定義式を再掲しておくと
\begin{align*}
\mathfrak{S}^*(n)=\sum_{q\le N^{\nu}}\sum_{\substack{a=1\\ (q,a)=1}}^q \frac{1}{q^s}S(q,a)^s e\left( -\frac{a}{q}n \right)
\end{align*}\begin{align*}
S(q,a)=\sum_{m=1}^qe\left( \frac{a}{q}m^k \right)
\end{align*}です。

Lem4

任意の $n$ と $s {>}2^k$ に対して
\begin{align*}
\mathfrak{S}(n):=\sum_{q=1}^{\infty}\sum_{\substack{a=1\\ (q,a)=1}}^q \frac{1}{q^s}S(q,a)^s e\left( -\frac{a}{q}n \right)
\end{align*}は $n$ に関して一様に絶対収束する。

証明まず $S(q,a)$ はWeylの不等式*5により任意の $\varepsilon>0$ に対して
\begin{align*}
S(a,q) \ll q^{1+\varepsilon -1/2^{k-1}} \quad ( \forall (a,q)=1 )
\end{align*}と評価できる。したがって
\begin{align*}
\sum_{\substack{a=1\\ (q,a)=1}}^q \frac{1}{q^s}S(q,a)^s e\left( -\frac{a}{q}n \right)\ll q^{s\left( \varepsilon -1/2^{k-1}\right) +1}
\end{align*}となる。 $\varepsilon$ が十分小さければ $\varepsilon -1/2^{k-1}{<}0$ なので
\begin{align}
\ll q^{-1-1/2^{k-1}+\varepsilon} \label{sing series1}
\end{align}が成立*6。十分小さい $\varepsilon$ に対して $1+1/2^{k-1}-\varepsilon >1$ なので $\mathfrak{S}(n)$ は絶対収束する。(QED)

$\mathfrak{S}(n)$ をWaringの問題に関する特異級数と呼びます。 $\mathfrak{S}^*(n)$ との関係は次の通りです。

Lem5

$s{>}2^k$ とする。このときある定数 $\delta =\delta_k {>}0$ が存在して\begin{align*}\mathfrak{S}^*(n)=\mathfrak{S}(n)+O\left( \frac{1}{n^{\delta}}\right)
\end{align*}が成立。

証明
\eqref{sing series1}において $\varepsilon =1/2^k$ と取れば
\begin{align*}
\mathfrak{S}(n)-\mathfrak{S}^*(n)&\ll \sum_{q>N^{\nu}}\frac{1}{q^{1+1/2^k}} \\
&\ll \int_{N^{\nu}}^{\infty} \frac{1}{x^{1+1/2^k}}\; dx \ll N^{-\nu /2^k}
\end{align*}を得る。よって $N^k =[n^{1/k}]^k \gg n$ に注意して
\begin{align*}
\mathfrak{S}(n)-\mathfrak{S}^*(n)&\ll n^{-\nu /k2^k}
\end{align*} $\delta =\nu /k2^k$ と置けば題意が成立。(QED)

特異積分

次は $J^*(n)$ の方の議論します。まず $J^*(n)$ の定義中の被積分関数に対して一つ補題を用意します。

Lem6

Lem2で定義した関数
\begin{align*}
v(\beta )=\sum_{m=1}^n\frac{1}{k}m^{1/k-1}e(\beta m)
\end{align*}に対して
\begin{align*}
v(\beta )\ll \min \left\{ n^{1/k} , |\beta |^{-1/k} \right\} \quad \left( |\beta |\le \frac{1}{2} \right)
\end{align*}が成立。

証明二つに場合分けして考える。

( $n \le 1/|\beta|$ のとき) このとき
\begin{align*}
\min \left\{ n^{1/k} , |\beta |^{-1/k} \right\}= n^{1/k}
\end{align*}であるから $v (\beta ) \ll n^{1/k}$ を示せばよい。これは\eqref{zen5}を用いれば
\begin{align*}
v(\beta ) \le n^{1/k} + O(1) \ll n^{1/k}
\end{align*}となり従う。

( $1/n \le |\beta| \le 1/2$ のとき) このときは $v(\beta )\ll |\beta |^{-1/k}$ を示せばよい。 $M=[|\beta|^{-1}]$ と置いて
\begin{align*}
v(\beta )=&\sum_{m=1}^M \frac{1}{k}m^{1/k-1}e(\beta m) \\
&+ \sum_{m=M+1}^n\frac{1}{k}m^{1/k-1}e(\beta m)
\end{align*}と和を分ける。第一項は三角不等式および\eqref{zen5}によって
\begin{align*}
\sum_{m=1}^M\frac{1}{k}m^{1/k-1}e(\beta m) \ll M^{1/k} \le |\beta |^{-1/k}
\end{align*}と評価できる。第二項は
\begin{align*}
A_{i,j} =\sum_{m=i}^je(\beta m)
\end{align*}\begin{align*}
c_j=\frac{1}{k}j^{1/k-1}
\end{align*}と定めればAbel変形*7により
\begin{align*}
\sum_{m=M+1}^n\frac{1}{k}m^{1/k-1}e(\beta m)= \sum_{j=M+1}^nA_{M+1,j}(c_j-c_{j+1} )+ A_{M+1,n}c_{n+1}
\end{align*}と変形できる。今、 $|\beta|\le 1/2$ より $\| \beta \|=|\beta|$ である*8。したがって指数和に関するWeylの不等式 - プライムスのProp3と $|\beta|^{-1} \le n$ より
\begin{align*}
A_{M+1,j} \ll \min \{n, |\beta|^{-1} \} = |\beta|^{-1} \quad (j \le n)
\end{align*}が成立。 $c_j$ が単調減少列であることに注意して $v(\beta)$ の第二項は
\begin{align*}
\sum_{m=M+1}^n\frac{1}{k}m^{1/k-1}e(\beta m) &\ll |\beta|^{-1} \sum_{j=M+1}^n (c_j-c_{j+1}) + |\beta|^{-1}c_{M+1} \\
&\ll |\beta|^{-1}c_{M+1} \\
&\le |\beta |^{-1}c_M \le |\beta |^{-1/k}
\end{align*}と評価できる。以上より主張が示された。(QED)

十分大きい $n$ に対して $[-N^{\nu-k},N^{\nu-k}] \subset [-1/2,1/2]$ となるので、Lem6より $J^*(n)$ の積分区間を $[-1/2,1/2]$ に置き換えたときの誤差を次のように計算することができます。

Lem7

$J(n)$ を
\begin{align*}
J(n)=\int_{-1/2}^{1/2} v(\beta)^se(-\beta n)\; d\beta
\end{align*}と置くと、ある定数 $\delta =\delta_k >0$ が存在して $s>k$ に対して
\begin{align*}
J^*(n)=J(n)+O\left( n^{s/k-1-\delta} \right)
\end{align*}が成立。

証明 $n$ が十分大きければ
\begin{align*}
J(n)-J^*(n) \ll \int_{N^{\nu-k}}^{1/2}\left| v(\beta)^s \right| \; d\beta
\end{align*}が成立。Lem6を用いれば、 $s/k>1$ に注意して
\begin{align*}
\ll \int_{N^{\nu-k}}^{1/2} \beta ^{-s/k} \; d\beta \le \int_{N^{\nu-k}}^{\infty} \beta ^{-s/k} \; d\beta \ll n^{s/k-1 +\nu/k -\nu s/k^2}
\end{align*} $s\ge k+1$ より
\begin{align*}
\ll n^{s/k-1-\nu/k^2}
\end{align*}したがって $\delta =\nu/k^2$ とすれば主張が成立。(QED)

$J(n)$ はWaringの問題に関する特異積分と呼ばれます。

まとめ -Major arc上の漸近公式-

Lem5及びLem7で得られた特異級数と特異積分の漸近式をLem3の $R(n)$ の漸近式に代入すると次の漸近公式が得られます。

Thm8

ある $\delta=\delta_k>0$ が存在して $s>2^k$ に対し
\begin{align*}
R(n)=\mathfrak{S}(n)J(n)+O\left( n^{s/k-1-\delta} \right)
\end{align*}が成立。

※以下の証明では先のLem中で示した様々な $\delta$ をすべて同じ記号 $\delta$ で表します。

証明 $s>2^k$ ならLem4より $\mathfrak{S}(n)=O(1)$ が成立。またLem6を用いれば
\begin{align*}
J(n) &\ll \int_{-1/2}^{1/2}\min \left\{ n^{s/k}, |\beta|^{-s/k} \right\} \; d \beta \\
&\ll \int_{0}^{1/2}\min \left\{ n^{s/k}, \beta^{-s/k} \right\} \; d \beta \\
&=\int_{0}^{1/n}n^{s/k}\; d\beta +\int_{1/n}^{1/2} \beta^{-s/k}\; d\beta
\ll n^{s/k-1}
\end{align*}と評価できる。したがってLem5とLem7の公式をLem3に代入すれば $s>2^k$ のとき
\begin{align*}
R(n)=\mathfrak{S}(n)J(n)+O\left( n^{s/k-1-\delta} \right)
\end{align*}が得られる。(QED)