Dirichlet L関数の基本性質と関数等式

Dirichlet L関数についての簡単な性質を紹介し関数等式を証明します。
Dirichlet L関数は算術級数の素数定理の証明にも用いられる非常に重要な複素関数のクラスです。

参考文献
Dirichlet L関数の定義と性質
Euler積表示
関数等式の証明に必要な補題
Dirichlet L関数の関数等式
一般化されたRiemann予想
おわりに

参考文献

(1)素数とゼータ関数 (共立講座数学の輝き)

リンク

(2)Multiplicative Number Theory (Graduate Texts in Mathematics 74)

リンク

(3) 解析的整数論〈1〉素数分布論 (朝倉数学大系)

リンク

Dirichlet L関数は Dirichlet指標と密接に関係しています。Dirichlet指標については以下の記事の結果を引用します。
mathnote.info
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Dirichlet L関数の定義と性質

Dirichlet指標 $\chi$ に対して
\begin{equation*}
L(s,\chi)=\sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s}
\end{equation*}と定め、これを指標 $\chi$ に付随するDirichlet L関数、もしくは単にDirichlet L関数と呼びます。 $L(s,\chi)$ の収束性については次が成立します。

Lem1

$\chi$ が自明指標なら $L(s,\chi)$ は $\Re(s)>1$ で広義一様に収束して正則関数となる。 $\chi$ が非自明指標なら $L(s,\chi)$ は $\Re(s)>0$ で広義一様に収束して正則関数となる。

証明　まず $\chi$ が自明指標のときは $\Re(s)>0$ で広義一様に絶対収束することがわかるので、この範囲で $L(s,\chi)$ が正則関数であることがわかる。一方 $\chi$ が非自明指標の場合はDirichlet指標について - プライムスの定理4から
\begin{equation}
\sum_{n=1}^N \chi(n) \le q \quad (\forall N \in \mathbb{N}) \label{eq1}
\end{equation}が成立。Abel総和公式を用いることで
\begin{equation*}
\sum_{n\le x} \frac{\chi(n)}{n^s}=\frac{\sum_{n\le x}\chi(n)}{x^s}+s\int_1^{\infty}\frac{\sum_{n\le t}\chi(n)}{t^{s+1}} \; dt
\end{equation*}と表せるが、\eqref{eq1}より $\Re(s)>0$ なら $x\to \infty$ で第一項は 0に収束し第二項は広義一様に絶対収束することがわかる。したがって主張が示された。(QED)

従って $\chi$ が非自明指標なら $L(s,\chi)$ が $\Re(s)>0$ で正則になるのでリーマンゼータ関数のような $s=1$ での極は発生しません。つまりL関数の特殊値 $L(1,\chi)$ を考えることができるのですが、この値を正確に求める問題は解析数論における難問の一つとして残っています*1。

Euler積表示

Dirichlet L関数も素数にわたる無限積表示であるEuler積表示を持つことが知られています。

Thm2(Euler積表示)

任意のDirichlet指標 $\chi$ に対して
\begin{equation*}
L(s,\chi)=\prod_{p}\left( 1-\frac{\chi(p)}{p^s}\right)^{-1} \quad (\Re (s) >1)
\end{equation*}が成立。

証明　 $2=p_1{<}p_2{<}\cdots$ を昇順の全ての素数列とする。 $L(s,\chi)$ の定義級数は $\Re(s)>1$ で絶対収束するので、 $\chi$ の完全乗法性に注意して $p_1=2$ に対し
\begin{equation*}
L(s,\chi)-\frac{\chi(2)}{2^s}L(s,\chi)=1+\frac{\chi(3)}{3^s}+\frac{\chi(5)}{5^s}+\frac{\chi(7)}{7^s}+\cdots
\end{equation*}となる。同様に $p_2=3$ に対し
\begin{align*}
&\left(1-\frac{\chi(2)}{2^s}\right)L(s,\chi)-\frac{\chi(3)}{3^s}\left(1-\frac{1}{2^s}\right)L(s,\chi) \\
&=\left(1-\frac{\chi(2)}{2^s}\right)\left(1-\frac{\chi(3)}{3^s}\right)L(s,\chi) \\
&=1+\frac{\chi(5)}{5^s}+\frac{\chi(7)}{7^s}+\frac{\chi(11)}{11^s}+\cdots
\end{align*}と計算できる。この操作を $p_{N-1}$ まで続けることで
\begin{equation*}
\prod_{n=1}^{N-1}\left(1-\frac{\chi(p_n)}{p_n^s}\right)L(s,\chi)=1+\frac{\chi(p_N)}{p_N^s}+\cdots
\end{equation*}が得られるが、この右辺の和は $\Re(s)>1$ なら
\begin{equation*}
\left| \frac{\chi(p_N)}{p_N^s}+\cdots \right| < \sum_{n=N}^{\infty}\frac{1}{n^{\Re(s)}} \to 1 \quad (N\to \infty)
\end{equation*}となるから $N\to \infty$ の極限を取ることで
\begin{equation*}
\prod_p\left(1-\frac{\chi(p)}{p^s}\right)L(s,\chi)=1
\end{equation*}が得られる。(QED)

法 $q$ の指標 $\chi$ が法 $q_1|q$ の指標 $\chi_1$ で生成されるとは\begin{equation*}
\chi(n)=
\begin{cases}
\chi_1(n) \quad &((n,q)=1) \\
0 \quad &((n,q)>1)
\end{cases}
\end{equation*}が成立することを言います。 $\chi$ が $\chi_1$ から生成されるとき、Euler積を用いることで付随するDirichlet L関数の間の関係式を導くことができます。

Cor3

$q_1|q$ とし、 $\chi$ は法 $q$ のDirichlet指標で $\chi_1$ は $\chi$ を生成する法 $q_1$ のDirichlet指標とする。このとき
\begin{equation*}
L(s,\chi)=\prod_{p|q}\left( 1-\frac{\chi_1(p)}{p^s}\right) L(s,\chi_1)
\end{equation*}が成立する。

証明 Euler積表示を用いれば
\begin{equation*}
L(s,\chi)=\prod_{(p,q)=1}\left( 1-\frac{\chi_1(p)}{p^s}\right)^{-1}=\prod_{p|q}\left( 1-\frac{\chi_1(p)}{p^s}\right) L(s,\chi_1)
\end{equation*}となる。(QED)

特に法 $q$ の自明指標 $\chi_0$ に付随するDirichlet L関数は
\begin{equation*}
L(s,\chi_0)=\prod_{p|q} \left(1-\frac{1}{p^s} \right) \zeta(s)
\end{equation*}とリーマンゼータ関数を用いて書くことができます。またこの公式よりほとんどの場合 $\chi$ が原始指標のときのみを考えればよいことがわかります。また関数等式を含むL関数に対する主張の多くが $\chi$ が原始指標のときのみ成立します。さらに因子 $1-\chi(p){/}p^s$ は虚軸上に零点を持つことが容易に分かるので、 $\chi$ が非原始指標なら $L(s,\chi)$ (を解析接続したもの)が虚軸上に零点を持つことがわかります。

関数等式の証明に必要な補題

Dirichlet L関数の関数等式は概ねリーマンゼータ関数の関数等式の証明と同じ方法で示すことができます。ただし、Dirichlet指標に関する知識などが必要になるためここでまとめておきます。

Lem4(Gauss和の性質)

$\chi$ を法 $q$ の原始的Dirichlet指標とし
\begin{equation*}
\tau (\chi ):=\sum_{n=1}^q \chi(n) e^{2\pi i n /q}
\end{equation*}とする。この時、
\begin{equation}
\chi(n) \tau (\bar{\chi})=\sum_{h=1}^q\bar{\chi}(h)e^{2\pi i n h /q} \quad (\forall n \in \mathbb{Z}) \label{eq2}
\end{equation}及び
\begin{equation}
{|} \tau (\chi)|=q^{1/2} \label{eq3}
\end{equation}が成立する。

証明 Dirichlet指標のGauss和について - プライムスを参照。(QED)

Lem5

任意の $x>0, \alpha \in \mathbb{R}$ に対し
\begin{equation}
\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-n^2\pi x+2\pi i n \alpha}
=x^{-1/2}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-(n+\alpha)^2\pi /x}
\label{eq4}
\end{equation}が成立する。

証明 Poissonの和公式とテータ関数のモジュラー関係式 - プライムスを参照。(QED)

Lem6

任意の $x>0, \alpha \in \mathbb{R}$ に対し
\begin{equation}
\sum_{n=-\infty}^{\infty}ne^{-n^2\pi x+2\pi i n \alpha}
=ix^{-3/2}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(n+\alpha)e^{-(n+\alpha)^2\pi /x}
\label{eq5}
\end{equation}が成立する。

証明 $x>0$ を固定すると\eqref{eq4}の両辺は変数 $\alpha$ の関数と見ることができる。両辺ともに和は一様に絶対収束するので $\alpha$ について項別に微分できて
\begin{equation*}
\sum2\pi i ne^{-n^2\pi x+2\pi i n \alpha}=-x^{-1/2}\sum2(n+\alpha)\frac{\pi}{x}e^{-(n+\alpha)^2\pi /x}
\end{equation*}が得られる。これを整理すれば\eqref{eq5}が得られる。(QED)

Dirichlet L関数の関数等式

まず関数等式の主張を見ていきます。Dirichlet L関数の関数等式の証明には $\chi(-1)$ の値に関する場合分けが必要になります(理由は後述)。そこで $\epsilon_{\chi}$ を
\begin{equation*}
\epsilon_{\chi}=
\begin{cases}
0 \quad &(\chi(-1)=1) \\
1 \quad &(\chi(-1)=-1)
\end{cases}
\end{equation*}と定めます。さらに簡単のため $L(s,\chi)$ の代わりに
\begin{equation*}
\xi(s,\chi)=\left( \frac{\pi}{q}\right)^{-(s+\epsilon_{\chi})/2}\Gamma \left(\frac{s+\epsilon_{\chi}}{2} \right) L(s,\chi)
\end{equation*}という複素関数を用います。次がDirichlet L関数に対する関数等式です。

Thm7(関数等式)

$\chi$ を法 $q$ の原始指標とする。このとき $\xi(s,\chi)$ は $\mathbb{C}$ に解析接続され
\begin{equation*}
\frac{i^{\epsilon_{\chi}}q^{1/2}}{\tau(\chi)}\xi(s,\chi)=\xi(1-s,\bar{\chi})
\end{equation*}が任意の $s\in \mathbb{C}$ で成立する。

リーマンゼータ関数の場合と比べて余計な因子 $i^{\epsilon_{\chi}}q^{1/2}/\tau (\chi)$ がかかっていたり、変数 $s$ を $s+\epsilon_{\chi}$ とシフトしていたりと幾分複雑です。さらに関数等式は $\xi(s,\chi)$ と $\xi(s,\bar{\chi})$ という異なる関数の間に成立する関係式となっています。しかし証明自体の難易度はリーマンゼータ関数とほぼ同じです。

Thm5を証明するために、まずはガンマ関数とL関数を関係付ける次の補題を示します。

Lem8

関数 $\omega(x,\chi)$ を
\begin{equation*}
\omega(x,\chi)=\sum_{n=1}^{\infty}n^{\epsilon_{\chi}}\chi(n)e^{-n^2\pi x/q}
\end{equation*}と定める。このとき
\begin{equation}
\xi(s,\chi)=\int_{0}^{\infty} x^{(s+\epsilon_{\chi})/2-1}\omega (x,\chi) \; dx \label{eq8}
\end{equation}が $\Re(s)>1$ で成立する。

証明ガンマ関数の定義式より
\begin{equation*}
\Gamma \left(\frac{s+\epsilon_{\chi}}{2}\right) =\int_0^{\infty}e^{-t}t^{(s+\epsilon_{\chi})/2-1} \;dt
\end{equation*}が $\Re(s)>0$ で成立。積分変数を自然数 $n$ に対して $t\to n^2\pi x/q$ と変数変換すれば
\begin{equation*}
\left( \frac{\pi}{q}\right)^{-(s+\epsilon_{\chi})/2}\Gamma\left(\frac{s+\epsilon_{\chi}}{2} \right) n^{-s}=\int_0^{\infty} x^{(s+\epsilon_{\chi})/2-1}n^{\epsilon_{\chi}}e^{-n^2\pi x/q}\; dt
\end{equation*}が得られる。したがって両辺に $\chi(n)$ をかけた後、 $n$ に関する和を取ることで
\begin{equation*}
\xi(s,\chi)=\sum_{n=1}^{\infty}\int_0^{\infty} x^{(s+\epsilon_{\chi})/2-1}n^{\epsilon_{\chi}}\chi(n)e^{-n^2\pi x/q}\; dt
\end{equation*}が得られる。最後の無限和と積分は
\begin{equation*}
\int_0^{\infty} \left( \sum_{n=1}^{\infty}\; x^{(\sigma+\epsilon_{\chi})/2-1}n^{\epsilon_{\chi}}e^{-n^2\pi x/q}\right) \; dt
\end{equation*}が $\sigma>1$ で収束することから $\Re(s)>1$ で和と積分の順序を交換することができ主張が従う。(QED)

次にLem4~Lem6を用いて $\omega(x,\chi)$ の関数等式を証明します。

Lem9

$\chi$ が法 $q$ の原始的Dirichlet指標なら、任意の $x>0$ に対して
\begin{equation}
\tau(\overline{\chi})\omega(x,\chi)=\left(\frac{i}{x}\right)^{\epsilon_{\chi}}\left(\frac{q}{x}\right)^{1/2}\omega \left(\frac{1}{x},\overline{\chi}\right) \label{eq6}
\end{equation}が成立する。

証明 $\omega(x,\chi)$ の定義から
\begin{equation*}
2\omega(x,\chi)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}n^{\epsilon_{\chi}}\chi(n)e^{-n^2\pi x/q}
\end{equation*}が成立。この両辺に $\tau(\bar{\chi})$ をかけてLem4の\eqref{eq2}を適用すると
\begin{equation}
2\tau(\bar{\chi})\omega(x,\chi)=\sum_{h=1}^q \bar{\chi}(h) \sum_{n=-\infty}^{\infty} n^{\epsilon_{\chi}}e^{-n^2\pi x/q+2\pi i nh/q} \label{eq7}
\end{equation}が得られる。次にこの公式の $n$ に関する和に対してLem5とLem6を適用する。 $\epsilon_{\chi}=0$ のときは\eqref{eq4}を $x=x/q,\alpha=h/q$ として適用することで
\begin{equation*}
\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-n^2\pi x/q+2\pi i n h/q}=\left( \frac{q}{x} \right)^{1/2}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-(qn+h)^2\pi /qx}
\end{equation*}が得られる。一方で $\epsilon_{\chi}=1$ のときは \eqref{eq5}を $x=x/q,\alpha=h/q$ として適用することで
\begin{equation*}
\sum_{n=-\infty}^{\infty}ne^{-n^2\pi x/q+2\pi i n h/q}=\left( \frac{i}{x}\right) \left( \frac{q}{x} \right)^{1/2} \sum_{n=-\infty}^{\infty} (qn+h)e^{-(qn+h)^2\pi /qx}
\end{equation*}が得られる。これらの結果はまとめて
\begin{align*}
&\sum_{n=-\infty}^{\infty}n^{\epsilon_{\chi}}e^{-n^2\pi x/q+2\pi i n h/q}\\
&=\left( \frac{i}{x}\right)^{\epsilon_{\chi}} \left( \frac{q}{x} \right)^{1/2} \sum_{n=-\infty}^{\infty} (qn+h)^{\epsilon_{\chi}}e^{-(qn+h)^2\pi /qx}
\end{align*}と書くことができる。この式を\eqref{eq7}に代入すれば
\begin{align*}
&2\tau(\bar{\chi})\omega(x,\chi) \\
&=\left( \frac{i}{x}\right)^{\epsilon_{\chi}} \left( \frac{q}{x} \right)^{1/2}\sum_{h=1}^q \sum_{n=-\infty}^{\infty} \bar{\chi}(h)(qn+h)^{\epsilon_{\chi}}e^{-(qn+h)^2\pi /qx}
\end{align*}となるが、 $\chi(h)=\chi(qn+h)\; (\forall n,h)$ に注意すればこれは
\begin{align*}
&=\left( \frac{i}{x}\right)^{\epsilon_{\chi}} \left( \frac{q}{x} \right)^{1/2}\sum_{h=1}^q \sum_{n=-\infty}^{\infty} \bar{\chi}(qn+h)(qn+h)^{\epsilon_{\chi}}e^{-(qn+h)^2\pi /qx} \\
&=\left( \frac{i}{x}\right)^{\epsilon_{\chi}} \left( \frac{q}{x} \right)^{1/2}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\bar{\chi}(n)n^{\epsilon_{\chi}}e^{-n^2\pi /qx} \\
&=2\left( \frac{i}{x}\right)^{\epsilon_{\chi}} \left( \frac{q}{x} \right)^{1/2} \omega\left(\frac{1}{x},\bar{\chi}\right)
\end{align*}と書き直せる。したがって主張が示された。(QED)

以上で準備は終わりです。L関数の関数等式を証明します。

Thm7の証明 Lem8の\eqref{eq8}の積分を $\int_0^1$ の部分と $\int_1^{\infty}$ の二つに分割し、 $\int_0^1$ の方の積分のみ $x \to 1/x$ と変数変換すれば
\begin{align*}
\xi(s,\chi)=&\int_1^{\infty}x^{-(s+\epsilon_{\chi})/2-1}\omega \left( x^{-1},\chi \right) dx \\
&+\int_1^{\infty}x^{(s+\epsilon_{\chi})/2-1}\omega(x,\chi) \; dx
\end{align*}さらに一つ目の積分にLem9の\eqref{eq6}を $x$ を $x^{-1}$ に置き換えて代入すれば
\begin{align}
=&\frac{i^{\epsilon_{\chi}}q^{1/2}}{\tau(\bar{\chi})}\int_1^{\infty}x^{-(s-\epsilon_{\chi})/2-1/2}\omega(x,\bar{\chi}) \; dx \notag \\
&+\int_1^{\infty}x^{(s+\epsilon_{\chi})/2-1}\omega(x,\chi) \; dx. \label{eq10}
\end{align}が得られる。最後の積分は両方とも全平面で絶対収束するので \eqref{eq10}は $\xi(s,\chi)$ の全平面への解析接続を与えている。ここで $\overline{\tau(\chi)}=(-1)^{\epsilon_{\chi}}\tau (\bar{\chi})$ が定義から容易に分かること、及びLem4の\eqref{eq3}に注意すれば
\begin{equation*}
\frac{i^{\epsilon_{\chi}}q^{1/2}}{\tau(\chi)} \cdot \frac{i^{\epsilon_{\chi}}q^{1/2}}{\tau(\bar{\chi})}=1
\end{equation*}が成立。したがって\eqref{eq10}の両辺に $i^{\epsilon_{\chi}}q^{1/2}/\tau(\chi)$ をかけると
\begin{align*}
\frac{i^{\epsilon_{\chi}}q^{1/2}}{\tau(\chi)}\xi(s,\chi)&=\int_1^{\infty}x^{-(s-\epsilon_{\chi})/2-1/2}\omega(x,\bar{\chi}) \; dx \\
&\quad +\frac{i^{\epsilon_{\chi}}q^{1/2}}{\tau(\chi)}\int_1^{\infty}x^{(s+\epsilon_{\chi})/2-1}\omega(x,\chi) \; dx
\end{align*}この右辺は再び\eqref{eq10}より
\begin{equation*}
=\xi(1-s,\bar{\chi})
\end{equation*}となる。したがって主張が示された。(QED)

一般化されたRiemann予想

Euler積と関数等式から原始指標に付随するDirichlet L関数の零点についての情報を取り出すことができます。

Thm10(L関数の自明零点)

任意の指標 $\chi$ に対し $L(s,\chi)$ は $s=-2n-\epsilon_{\chi}\; (n=0,-1,-2,\dots)$ で一位の零点を持つ。これら以外の零点は $0 \le \Re(s) \le 1$ の範囲にある。

証明　まずThm2のEuler積表示からすべてのDirichlet L関数 $L(s,\chi)$ は $\Re(s)>1$ に零点を持たないことに注意。したがって $\xi(s,\chi)$ も $\Re(s)>1$ に零点を持たないことがわかる。 $\xi(s,\chi)$ の定義式
\begin{equation*}
\xi(s,\chi)=\left( \frac{\pi}{q} \right)^{-(s+\epsilon_{\chi})/2}\Gamma\left( \frac{s+\epsilon_{\chi}}{2}\right) L(s,\chi)
\end{equation*}において、最初の因子 $(\pi /q)^{-(s+\epsilon_{\chi})/2}$ は零点も極も持たない関数である。一方 $\Gamma ((s+\epsilon_{\chi})/2)$ は $s=-2n-\epsilon_{\chi}\; (n=0,-1,-2,\dots )$ に一位の極を持ち零点は持たない。 $\xi(s,\chi)$ はThm7より整関数であるから $L(s,\chi)$ はここで零点をもち、関数等式よりこれらの零点は全て一位の零点であることがわかる。もしこれらの零点以外に $\Re(s)<0$ に $L(s,\chi)$ の零点があるなら関数等式より矛盾が生じる。したがって主張が示される。(QED)

$L(s,\chi)$ の $0\le \Re(s) \le 1$ にある零点を非自明零点と呼びます。Riemann予想は次のようにDirichlet L関数にも一般化されます。

Con11(一般化されたRiemann予想)

原始指標 $\chi$ に付随するL関数 $L(s,\chi)$ の任意の非自明零点 $\rho$ は $\Re(\rho)=1/2$ を満たす。

おわりに

Dirichlet L関数に対する関数等式の初出はHurwitz(1882)だそうです。一般化されたRiemann予想の初出はA.Piltz(1885)だそうです。

*1: $L(s,\chi)$ は $\chi$ が実指標のとき $s=1$ のごく近くの実軸上に零点を持つかもしれないことが知られている。この零点の非存在を示すことは解析数論のひとつの目標であるが、 $L(1,\chi)$ の下からの鋭い評価を求めることで $s=1$ の近くに零点が存在しないことが証明できる。