Bombieri-Vinogaradovの定理を証明する

Bombieri-Vinogradovの定理を証明します。

参考文献
Bombieri-Vinogradovの定理の主張
予備知識
大きな篩の応用
指標付きChebyshev関数の平均値定理
Bombieri-Vinogradovの定理の証明
おわりに

参考文献

(1) Multiplicative Number Theory

リンク

(2) 解析的整数論〈1〉素数分布論 (朝倉数学大系)

リンク

記事の中で使われる記号や定義に関してはこちらにまとめてあるので適宜参照してください。

Bombieri-Vinogradovの定理の主張

Bombieri-Vinogradovの定理は算術級数中の素数の分布に関する超重要な定理です。定理のモチベーションについては周辺の話題と合わせて次の記事も参考にしてください。

mathnote.info

ここではBombieri-Vinogradovの定理の主張を見ていきます。まず $(q,a)=1$ なる自然数に対して
\begin{align}
E(x;q,a)=\psi (x;q,a)-\frac{x}{\varphi (q)} \label{E(x;q,a)}
\end{align}と定義します。これは算術級数の素数定理の誤差項と呼ばれるものです。さらに自然数 $q$ に対し
\begin{align}
E(x,q)=\max_{(q,a)=1}|E(x;q,a)|
\end{align}\begin{align}
E^{\ast}(x,q)= \max_{y\le x}E(y,q)
\end{align}と定めておきます。次の定理が今回のメインテーマです。

定理(Bombieri-Vinogradovの定理)

任意の $A>0$ をとる。このとき $x^{1/2}/(\log x)^A \le Q \le x^{1/2}$ なら
\begin{align}
\sum_{q \le Q}E^{\ast}(x,q) \ll x^{1/2}Q(\log x)^5
\end{align}が成り立つ。

予備知識

Bimbieri-Vinogradovの証明を追うために必要な結果をさらっと紹介します。証明は他の記事や参考文献を挙げるに留めたいと思います。

Bombieri-Vinogradovの定理は大きな篩と呼ばれる手法から得られる一つの結果です。次の不等式が大きな篩という枠組みで得られる重要な不等式です。

定理1(Large Sieve不等式)

任意の複素数列 $a_n \; (n=1,2,,\dots )$ と $Q,M,N> 0$ に対して

\begin{align}
\sum_{q\le Q}\frac{q}{\varphi (q)}\underset{\chi}{\;\;{\sum}^{\ast}}\Big{|}\sum_{M+1}^{M+N}a_n \chi (n) \Big{|}^2
\ll (N+Q^2)\sum_{M+1}^{M+N}|a_n|^2
\end{align}

が成り立つ。ここで $\chi$ に渡る和の部分はmod $q$ の原始的Dirichlet指標全体を渡るものである。

証明の途中で次の不等式を用います。

補題2

$T>0,\beta >0, \alpha \in \mathbb{R}$ に対して

\begin{align}
\int_{-T}^Te^{it\alpha}\frac{\sin t\beta}{t}dt=
\begin{cases}
\pi +O(T^{-1}(\beta -|\alpha |)^{-1} )\quad &(|\alpha |< \beta ) \\
O( T^{-1}(|\alpha |-\beta )^{-1} )\quad &(| \alpha |> \beta )
\end{cases}
\end{align}

が成り立つ。

次にVaughanの公式と呼ばれる公式を紹介します。まず $U,V>0$ に対して関数 $a_i (n) \; (1\le i \le 4)$ を
\begin{align}
&a_1 (n)=
\begin{cases}
\Lambda (n) \quad &&(n \le U) \\
0 \quad &&(n > U)
\end{cases} \label{a1}\\
&a_2(n)=-\sum_{\substack{mdr=n \\ m \le U \\ d \le V}}\Lambda (m) \mu (d) \label{a2}\\
&a_3(n)=\sum_{\substack{hd=n \\ d \le V}}\mu (d)\log h \label{a3}\\
&a_4(n)=-\sum_{\substack{mk=n \\ m{>}U \\ k >1}}\Lambda (m) \Big{(}\sum_{\substack{d|k \\ d\le V}}\mu (d) \Big{)}\label{a4}
\end{align}と置きます。Vaughanの公式とは次のようなものです。

補題3(Vaughanの公式)

\begin{align}
\Lambda (n)=a_1(n)+a_2(n)+a_3(n)+a_4(n)
\end{align}

Vaughanの公式によってvon Mangoldt関数を分解することでL関数などの複雑な議論を避けることができ、証明がぐっと簡単になります。

Dirichlet指標に関する和を評価するために次の定理が用いられます。

定理4(Pólya-Vinogradovの不等式)

任意のmod $q$ の非自明指標 $\chi$ と任意の $M,N$ に対して
\begin{align}
\sum_{M+1}^{M+N}\chi (n) \ll q^{1/2}\log q
\end{align}が成り立つ。

最後にSiegelの不等式を紹介します。これはSiegelのL関数の零点分布に関する結果から従うものです。

定理5(Siegelの不等式)

任意の $A,B>0$ をとる。このとき任意の $q\le (\log x)^A$ とmod $q$ の非自明指標 $\chi$ に対して
\begin{align}
\psi (x, \chi ) \ll \frac{x}{(\log x)^B}
\end{align}が成り立つ。ただしオーダー定数は $A,B$ に依存する。

以上五つの結果を駆使してBombieri-Vinogradovの定理を証明します！

大きな篩の応用

Large Sieve不等式(定理1)から得られる次の補題を証明します。

補題6

$a_m,b_n$ を任意の複素数列とする。このとき $Q,M,N \ge 1$ に対して
\begin{align}
\sum_{q \le Q}\frac{q}{\varphi (q)}\underset{\chi}{\;\;{\sum}^{\ast}}\max_{u}\Big{|}\sum_{\substack{1\le m \le M \\ 1 \le n \le N\\ nm \le u}}a_mb_n\chi (nm)\Big{|} \notag
\end{align}

\begin{align}
\ll (M+Q^2)^{1/2}(N+Q^2)^{1/2}\Big{(}\sum_{1\le m \le M}|a_m|^2 \Big{)}^{1/2}\Big{(}\sum_{1\le n \le N}|b_n|^2 \Big{)}^{1/2}\log 2MN
\end{align}

が成り立つ。

注意として、この補題は $m,n$ が1から始まらなくても使えます。さらに例えばNが $m$ に依存して定まる $N(m)$ という形をしていても大丈夫です。とにかく
\begin{align}
\sum_{q \le Q}\frac{q}{\varphi (q)}\underset{\chi}{\;\;{\sum}^{\ast}}\max_{u}\Big{|}\sum_{\substack{m,n\\ nm \le u}}a_mb_n\chi (nm)\Big{|} \notag
\end{align}

\begin{align}
\ll (m\mathrm{の項数}+Q^2)^{1/2}(n\mathrm{の項数}+Q^2)^{1/2}\Big{(}\sum_{m}|a_m|^2 \Big{)}^{1/2}\Big{(}\sum_{n}|b_n|^2 \Big{)}^{1/2} \notag \\
\times \log (m\mathrm{の項数})(n\mathrm{の項数})\notag
\end{align}

と評価できることを主張しています( $m,n$ は有界な範囲をうごく)。

証明
(Step1) まず主張から $u$ についての条件をなくしたものについて考える。指標 $\chi$ に渡る和についてCaychy-Schwartzの不等式を用いれば
\begin{align}
\sum_{q \le Q}\frac{q}{\varphi (q)}\underset{\chi}{\;\;{\sum}^{\ast}}\Big{|}\sum_{\substack{1\le m \le M \\ 1 \le n \le N}}a_mb_n\chi (nm)\Big{|} \notag
\end{align}\begin{align}
\le &\Big{(}\sum_{q\le Q}\frac{q}{\varphi (q)}\underset{\chi}{\;\;{\sum}^{\ast}}\Big{|}\sum_{m=1}^Ma_m\chi (m) \Big{|}^2\Big{)}^{1/2} \notag \\
& \times \Big{(}\sum_{q\le Q}\frac{q}{\varphi (q)}\underset{\chi}{\;\;{\sum}^{\ast}}\Big{|}\sum_{n=1}^Nb_n\chi (n) \Big{|}^2\Big{)}^{1/2}\notag
\end{align}Large Sieve不等式(定理1)より
\begin{align}
\ll (M+Q^2)^{1/2}(N+Q^2)^{1/2}\Big{(}\sum_{m=1}^M|a_m|^2 \Big{)}^{1/2}\Big{(}\sum_{n=1}^N|b_n|^2\Big{)}^{1/2} \label{Step1}
\end{align}が得られる。

(Step2) 補題6の主張を示すために $u=k+1/2 \; (0\le k \le MN)$ としても一般性を失わない。補題2を $\alpha =\log mn, \beta =\log u$ として用いれば $T>0$ に対して
\begin{align}
&\int_{-T}^T\frac{1}{(mn)^{it}}\frac{\sin (t\log u)}{\pi t}dt \notag \\
&=
\begin{cases}
1+O(T^{-1}(\beta - \alpha )^{-1}) \quad &&(mn \le u) \\
O(T^{-1}(\alpha -\beta )^{-1}) \quad &&(nm >u)
\end{cases} \notag
\end{align}が得られる。これの両辺に $a_mb_n \chi (mn)$ をかけて $1\le m \le M,1\le n \le N$ に渡る和をとると
\begin{align}
\int_{-T}^T A(t) B(t)\frac{\sin(t \log u)}{\pi t}dt \notag
\end{align}\begin{align}
= \sum_{\substack{1 \le m \le M \\ 1 \le n \le N \\mn \le u}}a_mb_n\chi (mn) +O\Big{(}\sum_{\substack{1\le m \le M \\ 1 \le n \le N }}\frac{|a_m b_n|}{T|\log (mn/u)| }\Big{)} \label{Step2}
\end{align}となる。ここで
\begin{align}
&A(t)=\sum_{1 \le m \le M}\frac{a_m\chi (m)}{m^{it}} \\
&B(t)=\sum_{1\le n\le N} \frac{b_n\chi (n)}{n^{it}}
\end{align}とおいた。

(Step3) \eqref{Step2}を評価するための不等式を用意する。まず
\begin{align}
\Big{|}\log \frac{mn}{u} \Big{|} \ge
\begin{cases}
\log \Big{(}1+\frac{1/2}{k+1/2}\Big{)} \quad &(k < mn) \\
\log \Big{(}1+\frac{1/2}{k}\Big{)} \quad &(k \ge mn )
\end{cases} \notag
\end{align}であるから $\log (1+x^{-1}) \ge x^{-1}$ に注意して
\begin{align}
\Big{|}\log \frac{mn}{u} \Big{|} \gg \frac{1}{k} \gg \frac{1}{MN}
\end{align}と評価できる。
次に $\sin (t\log u)$ について評価する。
\begin{align}
t \log u \ll {|} t | \log \Big{(}MN+\frac{1}{2} \Big{)} \ll {|}t| \log 2MN \notag
\end{align}である。 $|t|\log 2MN {>}1$ であるときは自明な評価
\begin{align}
\sin (t\log u) \ll 1 \notag
\end{align}を用いる。 $|t| \log 2MN \le 1$ である時は $\sin x /x =1+o(1) \; (|x| \to 0)$ より
\begin{align}
\sin (t\log u) \ll |t| \log u \ll |t|\log 2MN \notag
\end{align} と評価できる。したがっていつでも
\begin{align}
\sin (t\log u) \ll \min \{ 1, |t|\log 2MN \}
\end{align}と評価できる。

(Step4) Step3で用意した不等式を\eqref{Step2}に代入すれば
\begin{align}
\sum_{\substack{1 \le m \le M \\ 1 \le n \le N \\mn \le u}}a_mb_n\chi (mn)\ll &\int_{-T}^T|A(t)B(t)| \min \Big{\{}\frac{1}{|t|}, \log 2MN \Big{\}} dt \notag \\
&+ \frac{MN}{T}\sum_{\substack{1\le m \le M \\ 1 \le n \le N}}|a_mb_n| \notag
\end{align}これより
\begin{align}
\sum_{q \le Q}\frac{q}{\varphi (q)}\underset{\chi}{\;\;{\sum}^{\ast}}\max_{u}\Big{|}\sum_{\substack{1\le m \le M \\ 1 \le n \le N\\ nm \le u}}a_mb_n\chi (nm)\Big{|} \notag
\end{align}\begin{align}
\ll &\int_{-T}^T f (t) \min \Big{\{}\frac{1}{|t|}, \log 2MN \Big{\}}dt\notag \\ &+
\frac{MN}{T}\sum_{q \le Q}\frac{q}{\varphi (q)}\underset{\chi}{\;\;{\sum}^{\ast}}\sum_{\substack{1\le m \le M \\ 1 \le n \le N}}|a_mb_n| \label{Step4}
\end{align}を得る。ここで
\begin{align}
f(t)=\sum_{q \le Q}\frac{q}{\varphi (q)}\underset{\chi}{\;\;{\sum}^{\ast}}\Big{|}\sum_{\substack{1\le m \le M \\ 1 \le n \le N}}\frac{a_mb_n\chi (mn)}{(mn)^{it}}\Big{|}
\end{align}と置いた。容易に
\begin{align}
\int_{-T}^T \min \Big{\{}\frac{1}{|t|}, \log 2MN \Big{\}}dt \ll \log2MN
\end{align}と評価できるから、\eqref{Step1}を用いれば\eqref{Step4}の第一項は

\begin{align}
\ll (M+Q^2)^{1/2}(N+Q^2)^{1/2}\Big{(}\sum_{1\le m \le M}|a_m|^2 \Big{)}^{1/2}\Big{(}\sum_{1\le n \le N}|b_n|^2 \Big{)}^{1/2}\log 2MN
\end{align}

と評価できる。一方、第二項はCauchy-Schwarzの不等式より
\begin{align}
\ll \frac{Q^2}{T}(MN)^{3/2}\Big{(}\sum_{1\le m \le M}|a_m|^2 \Big{)}^{1/2}\Big{(}\sum_{1\le n \le N}|b_n|^2 \Big{)}^{1/2} \notag
\end{align}となるから $T=(MN)^{3/2}$ としておけば
\begin{align}
\ll Q^2\Big{(}\sum_{1\le m \le M}|a_m|^2 \Big{)}^{1/2}\Big{(}\sum_{1\le n \le N}|b_n|^2 \Big{)}^{1/2}
\end{align}と評価できる。
以上より補題6が証明された。(QED)

指標付きChebyshev関数の平均値定理

補題6を用いて指標付きChebyshev関数の次の形の平均値定理を示します。

定理7

$x,Q>1$ に対して
\begin{align}
\sum_{q\le Q} \frac{q}{\varphi (q)}\underset{\chi}{\;\;{\sum}^{\ast}}\max_{y \le x}|\psi (y,\chi )| \notag
\end{align}\begin{align}
\ll(x+x^{5/6}Q+x^{1/2}Q^2)(\log x)^4
\end{align}が成り立つ。

証明まず $Q^2> x$ の時を考える。このとき補題6を $M=1,a_m=1,N=x,$ $b_n=\Lambda (n)$ とすれば
\begin{align}
\sum_{q\le Q} \frac{q}{\varphi (q)}\underset{\chi}{\;\;{\sum}^{\ast}}\max_{y \le x}|\psi (y,\chi )| \notag
\end{align}\begin{align}
\ll (1+Q^2)^{1/2}(x+Q^2)^{1/2}\Big{(}\sum_{n\le x}\Lambda (n)^2 \Big{)}^{1/2}\log x \notag
\end{align}であり、自明な評価 $\sum_{n\le x}\Lambda (n)^2 \ll x\log x$ に注意すれば
\begin{align}
\ll x^{1/2}Q^2(\log x)^{3/2}
\end{align}と評価できる。したがってこのときは定理7が成り立つ。
以下 $Q^2 \le x$ とする。
Vaughanの等式(補題3)を用いれば
\begin{align}
\psi (y,\chi )=S_1(y) +\cdots +S_4(y)
\end{align}\begin{align}
S_i(y)=\sum_{n\le y}a_i(n)\chi (n)\quad (i=1,2,3,4)
\end{align}と分解できる( $U,V$ は後で定める)。したがって定理7を証明するためには各 $i$ に対して
\begin{align}
\sum_{q\le Q} \frac{q}{\varphi (q)}\underset{\chi}{\;\;{\sum}^{\ast}}\max_{y \le x}|S_i(y)|
\end{align}を評価すればよい。

( $S_1$ について) $a_1 (n)$ の定義式\eqref{a1}より
\begin{align}
S_1 (y) &=\sum_{n \le y} a_1(n)\chi (n) \notag \\
&\ll \sum_{n\le U}\Lambda (n) \sim U \notag
\end{align}であるから
\begin{align}
\sum_{q\le Q} \frac{q}{\varphi (q)}\underset{\chi}{\;\;{\sum}^{\ast}}\max_{y \le x}|S_1(y)| \ll UQ^2 \label{S1}
\end{align}と評価できる。

( $S_2$ について) $a_2 (n)$ の定義式\eqref{a2}より
\begin{align}
S_2(y)=-\sum_{n \le y } \chi (n)\sum_{\substack{mdr=n \\ m \le U \\ d \le V}}\Lambda (m) \mu (d)\notag
\end{align} $t=md$ とおいて和の順序を交換すれば
\begin{align}
=-\sum_{t \le UV}\Big{(}\sum_{\substack{m\le U \\ d \le V \\t=md}} \Lambda (m)\mu (d) \Big{)} \sum_{r \le y/t}\chi (rt)
\end{align}となる。この $t$ に関する和を二つに分けて
\begin{align}
S_2(y)&=-\sum_{t\le U}\Big{(}\sum_{\substack{m\le U \\ d \le V \\t=md}} \Lambda (m)\mu (d) \Big{)} \sum_{r \le y/t}\chi (rt) \notag \\
&\quad \; -\sum_{U {<} t \le UV}\Big{(}\sum_{\substack{m\le U \\ d \le V \\t=md}} \Lambda (m)\mu (d) \Big{)} \sum_{r \le y/t}\chi (rt) \notag \\
&=S_2'(y)+S_2''(y)
\end{align}と置く。

( $S_2'$ について) $\chi$ は完全乗法的関数であるから
\begin{align}
S_2'(y) \ll \sum_{t\le U} \Big{(}\sum_{m|t}\Lambda (m)\Big{)}\Big{|}\sum_{r \le y/t}\chi (r)\Big{|} \label{S2dash}
\end{align} $\sum_{m|t}\Lambda (m)=\log t$ に注意して
\begin{align}
\ll \log U \sum_{t\le U}\Big{|}\sum_{r\le y/t}\chi (r)\Big{|} \notag
\end{align}Pòlya-Vinogradovの不等式(定理4)より $q \neq 1$ なら
\begin{align}
&\ll q^{1/2}U(\log q)(\log U) \notag \\
&\ll q^{1/2}U(\log qU)^2 \label{S2dash2}
\end{align}と評価できる。一方 $q=1$ のときは\eqref{S2dash}から
\begin{align}
S_2' (y)\ll x(\log U)^2 \quad (\mathrm{If}\; y \le x) \label{S2dash3}
\end{align}と評価できる。したがって\eqref{S2dash2}と\eqref{S2dash3}から
\begin{align}
&\sum_{q\le Q} \frac{q}{\varphi (q)}\underset{\chi}{\;\;{\sum}^{\ast}}\max_{y \le x}|S_2'(y)| \notag \\
&\ll x(\log U)^2 +\sum_{q\le Q} \frac{q}{\varphi (q)}\underset{\chi}{\;\;{\sum}^{\ast}}q^{1/2}U(\log qU)^2 \notag \\
&\ll (x+Q^{5/2}U)(\log xU)^2 \label{S2'}
\end{align}が得られる。

( $S_2''$ について) 補題6を用いれば任意の $1\le M \le x$ に対して
\begin{align}
\sum_{q\le Q}\frac{q}{\varphi (q)}\underset{\chi}{\;\;{\sum}^{\ast}}\max_{y \le x} \Big{|}\sum_{\substack{U {<}t\le UV \\ M {<} t \le 2M}} \Big{(}\sum_{\substack{m\le U \\ d \le V \\t=md}}\Lambda (m)\mu (d)\Big{)}\sum_{r\le y/t}\chi (rt) \Big{|} \notag
\end{align}\begin{align}
\ll (M+Q^2)^{1/2}\Big{(}\frac{x}{M}+Q^2\Big{)}^{1/2}\Big{(}\sum_{t=M}^{2M} \Big{|} \sum_{\substack{m\le U \\ d \le V \\t=md}}\Lambda (m)\mu (d)\Big{|}^2\Big{)}^{1/2}\Big{(}\frac{x}{M}\Big{)}^{1/2}\log x \notag
\end{align} $\sum_{m|t}\Lambda (m)=\log t$ に注意して
\begin{align}
\ll (x+x^{1/2}QM^{1/2}+xQM^{-1/2}+Q^2x^{1/2})(\log x)^2 \label{S2dashdash1}
\end{align}と評価できる。そこで $M=2^k$ と置いて
\begin{align}
2^k \le U {<} 2^{k+1}
\end{align}となる $k$ から
\begin{align}
2^k {<}UV \le 2^{k+1}
\end{align}となる $k$ まで足し合わせれば、もし $UV \le x$ なら\eqref{S2dashdash1}より
\begin{align}
&\sum_{q\le Q} \frac{q}{\varphi (q)}\underset{\chi}{\;\;{\sum}^{\ast}}\max_{y \le x}|S_2''(y)| \notag \\
&\ll \sum_{k}(x+x^{1/2}QM^{1/2}+xQM^{-1/2}+Q^2x^{1/2})(\log x)^2 \notag \\
&\ll (x+x^{1/2}QU^{1/2}V^{1/2}+xQU^{-1/2}+x^{1/2}Q^2)(\log x)^3 \label{S2''}
\end{align}と評価できる。

( $S_3$ について) $S_2'$ と同様に和の順序交換を行えば容易に
\begin{align}
S_3 (y) \ll \log x \sum_{d\le V}\Big{|}\sum_{h \le y/d} \chi (h)\Big{|} \notag
\end{align}となりPòlya-Vinogradovの不等式より $q\neq 1$ なら
\begin{align}
\ll q^{1/2}V(\log qx )^2
\end{align}と評価できる。一方 $q=1$ のときは自明に
\begin{align}
S_3 (y)\ll x (\log Vx)^2
\end{align}である。 $Q\le x$ より $\log Qx \ll \log x \ll \log Vx$ であることに注意して
\begin{align}
&\sum_{q\le Q} \frac{q}{\varphi (q)}\underset{\chi}{\;\;{\sum}^{\ast}}\max_{y \le x}|S_3(y)| \notag \\
&\ll (x+Q^{5/2}V)(\log Vx)^2 \label{S3}
\end{align}を得る。

( $S_4$ について) Möbius関数の基本公式より
\begin{align}
\sum_{\substack{d|k \\ d\le V}}\mu (d) =0 \quad (1 \le k \le V)
\end{align}に注意すれば
\begin{align}
S_4 (y)=-\sum_{n\le y}\chi (n) \sum_{\substack{mk=n \\ m >U \\ k{>}V}}\Lambda (m)\Big{(}\sum_{\substack{d|k \\ d \le V}}\mu (d)\Big{)} \notag
\end{align}となり和の順序を交換して
\begin{align}
=-\sum_{U {<}m {<} y/V}\Lambda (m) \sum_{V{<}k \le y/m}\Big{(}\sum_{\substack{d|k \\ d\le V}}\mu (d)\Big{)}\chi (mk)
\end{align}となる。補題6を用いれば任意の $1\le M\le x$ に対して
\begin{align}
\sum_{q\le Q}\frac{q}{\varphi (q)}\underset{\chi}{\;\;{\sum}^{\ast}}\max_{y \le x} \Big{|}\sum_{\substack{U {<}m {<}y/V \\ M {<}m \le M}}\Lambda (m) \sum_{V{<}k \le y/m}\Big{(}\sum_{\substack{d|k \\ d\le V}}\mu (d)\Big{)}\chi (mk)\Big{|}\notag
\end{align}

\begin{align}
\ll (M+Q^2)^{1/2}\Big{(}\frac{x}{M}+Q^2\Big{)}^{1/2}\Big{(}\sum_{M}^{2M}\Lambda (m)^2\Big{)}^{1/2} \Big{(}\sum_{k \le x/M}d (k)^2 \Big{)}^{1/2}\log x \notag
\end{align}

$\sum_{k\le z}d(k)^2 \ll z (\log z)^3$ に注意して
\begin{align}
\ll (x+x^{1/2}M^{1/2}Q+x M^{-1/2}Q+x^{1/2}Q^2)(\log x)^{3} \label{S4estimate}
\end{align}と評価できる。そこで $M=2^k$ と置いて
\begin{align}
2^k \le U < 2^{k+1}
\end{align}となる $k$ から
\begin{align}
2^{k} < \frac{x}{V} \le 2^{k+1}
\end{align}となる $k$ まで足し合わせれば\eqref{S4estimate}より
\begin{align}
&\sum_{q\le Q} \frac{q}{\varphi (q)}\underset{\chi}{\;\;{\sum}^{\ast}}\max_{y \le x}|S_4(y)| \notag \\
&\ll \sum_{k} (x+x^{1/2}M^{1/2}Q+x M^{-1/2}Q+x^{1/2}Q^2)(\log x)^{3} \notag \\
&\ll (x + xQV^{-1/2}+xQU^{-1/2}+x^{1/2}Q^2) (\log x)^4 \label{S4}
\end{align}と評価できる。

以上より $S_1$ から $S_4$ の評価が得られた。\eqref{S1}\eqref{S2'}\eqref{S2''}\eqref{S3}\eqref{S4}の結果を合わせれば $UV\le x$ のとき
\begin{align}
\sum_{q\le Q} \frac{q}{\varphi (q)}\underset{\chi}{\;\;{\sum}^{\ast}}\max_{y \le x}|\psi (y,\chi )| \notag
\end{align}\begin{align}
\ll (x+Q^2x^{1/2} +Q^{5/2}(U+V)+Qx(U^{-1/2}+V^{-1/2}&)\notag\\ +Qx^{1/2}U^{1/2}V^{1/2})(\log xUV&)^4 \notag
\end{align}と評価できるが、これは $U=V$ のとき最小になるので*1U=V=Wとして
\begin{align}
\ll (x+Q^2x^{1/2}+Q^{5/2}W+QxW^{-1/2}+Qx^{1/2}W)(\log x)^4\label{tyu}
\end{align}となる。 $W$ に関わる項
\begin{align}
Q^{3/2}W+xW^{-1/2}+x^{1/2}W \label{boku}
\end{align}を最小にするように $W$ を選びたい。そこで以下二つの場合に分けて考える。

( $x^{1/3} \le Q \le x^{1/2}$ の場合) このとき
\begin{align}
x^{1/2} =\Big{(}x^{1/3}\Big{)}^{3/2} \le Q^{3/2}
\end{align}となるから\eqref{boku}は
\begin{align}
\ll Q^{3/2}W+xW^{-1/2}
\end{align}
となる。これは $W=x^{2/3}Q^{-1}$ のとき最小値をとることがわかる。この $W$ を代入すれば\eqref{tyu}は
\begin{align}
\ll Q^2x^{1/2}
\end{align}と評価できる。

( $Q < x^{1/3}$ の場合) このとき $Q^{3/2} < x^{1/2}$ となるから\eqref{boku}は
\begin{align}
\ll x^{1/2}W+xW^{-1/2}
\end{align}となる。これは $W=x^{1/3}$ のとき最小値をとる。この $W$ を代入すれば\eqref{tyu}は
\begin{align}
\ll x+Q^2x^{1/2}+Qx^{5/6}
\end{align}となる。

以上より定理7の証明が得られた。(QED)

Bombieri-Vinogradovの定理の証明

以上で準備が整いました。それではBombieri-Vinogradovの定理を証明しましょう。

Bombieri-Vinogradovの定理の証明 $A>0$ とし $x^{1/2}/(\log x)^A\le Q \le x^{1/2}$ とする。
(Step1) ここではまず定理5と定理7に帰着させる。 $(q,a)=1$ なる自然数に対して $\psi (y;q,a)$ は
\begin{align}
\psi (y;q,a)=\frac{1}{\varphi (q)}\sum_{\chi }\bar{\chi}(a) \psi (y,\chi ) \label{psi1}
\end{align}と書ける。ここで $\chi$ に渡る和はmod $q$ のDirichlet指標全体を渡る。そこでDirichlet指標 $\chi$ に対して
\begin{align}
\psi' (y,\chi )=
\begin{cases}
\psi (y,\chi ) \quad &(\chi \neq \chi_0 )\\
\psi (y,\chi ) -y \quad &(\chi = \chi_0)
\end{cases}
\end{align}と定める( $q=1$ のときは下段で定める)。すると\eqref{psi1}より
\begin{align}
\psi (y;q,a) =\frac{1}{\varphi (q)}\sum_{\chi}\bar{\chi}(a)\psi'(y, \chi )+\frac{y}{\varphi (q)} \notag
\end{align}となるから定義より $E(y;q,a)$ は
\begin{align}
E(y;q,a) \ll \frac{1}{\varphi (q)} \sum_{\chi} |\psi' (y,\chi)| \notag
\end{align}と評価できる。これは $a$ によらない評価なので
\begin{align}
E(y,q) \ll \frac{1}{\varphi (q)} \sum_{\chi} |\psi' (y,\chi)| \label{E(y,q)}
\end{align}を得る。
次にmod $q$ の各指標 $\chi$ に対して mod $q_1|q$ の原始指標で $\chi$ を生成するものを $\chi_1$ と置く( $\chi$ が原始的なら $q_1=q, \chi_1=\chi$ )。このとき指標付きChebyshev関数の定義より
\begin{align}
\psi (y,\chi_1)-\psi (y,\chi)&=\sum_{\substack{p^k\le y \\ p|q}}\chi_1(p^k)\log p\notag \\
&\ll \sum_{p|q}\Big{[}\frac{\log y}{\log p}\Big{]}\log p\notag \\
&\ll \omega (q)\log p \notag
\end{align}となるので $\omega (q) \ll \log q$ に注意して
\begin{align}
\psi (y,\chi)=\psi (y,\chi_1)+O( (\log yq)^2)
\end{align}を得る。これと\eqref{E(y,q)}を合わせれば
\begin{align}
E^{\ast}(x,q) \ll (\log qx)^2+\frac{1}{\varphi (q)}\sum_{\chi} \max_{y\le x}|\psi'(y,\chi_1 )| \notag
\end{align}と評価できる。
これを $q\le Q$ に渡って足し合わせると
\begin{align}
\sum_{q\le Q}E^{\ast}(x,q) \ll Q(\log Qx)^2+\sum_{q\le Q}\sum_{\chi}\frac{\max_{y\le x}|\psi' (y,\chi_1)|}{\varphi (q)}\label{East}
\end{align}となるが、右辺の和は原始指標のみが出てくるので右辺をmod $q$ の原始指標に渡る和にまとめなおすことを考える( $q=1$ のときのただひとつの指標も原始指標に含めるとする)。自然数 $k$ に対してmod $q$ の原始指標 $\chi$ が生成するmod $kq$ の指標が出てくる回数は明らかに $k\le Q/q$ 回である。\eqref{East}においてこのmod $kq$ の指標が現れたとき $1/\varphi (kq)$ がかかっていることに注意すれば\eqref{East}の右辺最後の和は
\begin{align}
\ll \sum_{q\le Q}\underset{\chi}{\;\;{\sum}^{\ast}}\sum_{k\le Q/q} \frac{\max_{y\le x}|\psi (y,\chi )|}{\varphi (kq)} \notag
\end{align}であるが、容易に $\varphi (kq) \ge \varphi (k) \varphi (q)$ がわかるので $\sum_{k\le z}1/\varphi (k) \ll \log z$ に注意して
\begin{align}
\ll (\log x) \sum_{q\le Q}\frac{1}{\varphi (q)}\underset{\chi}{\;\;{\sum}^{\ast}}\max_{y\le x}|\psi' (y,\chi )| \notag
\end{align}と評価できる。これより\eqref{East}は原始指標に対して $\psi (y,\chi )=\psi' (y,\chi )$ であることより

\begin{align}
\sum_{q\le Q}E^{\ast}(x,q) \ll Q(\log Qx)^2+(\log x) \sum_{q\le Q}\frac{1}{\varphi (q)}\underset{\chi}{\;\;{\sum}^{\ast}}\max_{y\le x}|\psi (y,\chi )|
\end{align}

となる(後でわかることだがこの第一項は無視できる)。したがってBombieri-Vinogradovの定理を示すには
\begin{align}
\sum_{q\le Q}\frac{1}{\varphi (q)}\underset{\chi}{\;\;{\sum}^{\ast}}\max_{y\le x}|\psi (y,\chi )| \ll x^{1/2}Q(\log x)^4 \label{MainClaim}
\end{align}を示せばよいことがわかる。

(Step2) \eqref{MainClaim}のうち $q$ が小さい時を考える。具体的には $Q_1=(\log x)^A$ に対して
\begin{align}
\sum_{q\le Q_1}\frac{1}{\varphi (q)}\underset{\chi}{\;\;{\sum}^{\ast}}\max_{y\le x}|\psi (y,\chi )| \ll x^{1/2}Q \label{MainClaim2}
\end{align}を示す。まず $y \le \sqrt{x}$ であるときは素数定理より
\begin{align}
\psi (y,\chi ) \ll \sum_{n\le \sqrt{x}} \Lambda (n) \sim \sqrt{x}\label{ineq2}
\end{align}であり。 $\sqrt{x} < y \le x$ のとき、 $x$ が十分大きければ
\begin{align}
(\log x)^A \le \Big{(}\frac{1}{2}\log x \Big{)}^{2A} \le (\log y)^{2A}\label{ineq1}
\end{align}となる。Siegelの不等式(補題5)より任意の $B>0$ に対して $q\le (\log y)^{2A}$ なら
\begin{align}
\psi (y,\chi ) \ll \frac{y}{(\log y )^B} \ll \frac{x}{(\log x)^B}\label{ineq3}
\end{align}となるが、\eqref{ineq1}よりこの不等式は $y \le (\log x)^A$ でも従う。\eqref{ineq2}と\eqref{ineq3}より任意の $B>0$ に対して $q\le (\log x)^A$ なら
\begin{align}
\max_{y \le x}|\psi (y,\chi )| \ll \frac{x}{(\log x)^B}
\end{align}が従う。以上より
\begin{align}
\sum_{q\le Q_1}\frac{1}{\varphi (q)}\underset{\chi}{\;\;{\sum}^{\ast}}\max_{y\le x}|\psi (y,\chi )| \ll \frac{x}{(\log x)^B}Q_1
\end{align}となり、 $B=2A$ と取れば\eqref{MainClaim2}が成立することがわかる。

(Step3) \eqref{MainClaim}のうち $q$ が大きい時を考える。 $U\ge 1$ に対して定理7より
\begin{align}
&\sum_{U{<}q\le 2U}\frac{1}{\varphi (q)}\underset{\chi}{\;\;{\sum}^{\ast}}\max_{y\le x}|\psi (y,\chi )| \notag \\
&\ll \frac{1}{U}\sum_{U{<}q\le 2U}\frac{q}{\varphi (q)}\underset{\chi}{\;\;{\sum}^{\ast}}\max_{y\le x}|\psi (y,\chi )| \notag \\
&\ll (xU^{-1}+x^{5/6}+x^{1/2}U)(\log x)^4 \label{Step3ineq}
\end{align}がわかる。 $U=2^k$ と取り、 $k$ の範囲を
\begin{align}
2^k \le Q_1 \;{<}\; 2^{k+1} \notag
\end{align}となるものから
\begin{align}
2^k \;{<} \; Q \le 2^{k+1}\notag
\end{align}となるものまで足し合わせることで\eqref{Step3ineq}より
\begin{align}
&\sum_{Q_1{<}q \le Q}\frac{1}{\varphi (q)}\underset{\chi}{\;\;{\sum}^{\ast}}\max_{y\le x}|\psi (y,\chi )| \notag \\
&\ll\sum_{k}\sum_{U{<}q\le 2U}\frac{1}{\varphi (q)}\underset{\chi}{\;\;{\sum}^{\ast}}\max_{y\le x}|\psi (y,\chi )| \notag \\
&\ll \sum_{k}(xU^{-1}+x^{5/6}+x^{1/2}U)(\log x)^4 \notag \\
&\ll (xQ_1^{-1}+x^{5/6}\log Q +x^{1/2}Q)(\log x)^4 \notag \\
&\ll x^{1/2}Q(\log x)^4 \label{MainClaim3}
\end{align}と評価できる。
\eqref{MainClaim2}と\eqref{MainClaim3}より\eqref{MainClaim}が導かれ、したがってBombieri-Vinogradovの定理が証明された。(QED)

おわりに

疲れました...。かなり長いですが参考になればうれしいです。篩法ってあんまりやってる人が見当たらないので興味があったら是非勉強してみてください。

*1: $U,V$ の二変数関数としての最小値問題として微分等を用いればわかる。各偏導関数が任意の $x$ に対して消えるのは $U=V$ のときのみである。

プライムス

大学院生の数学ノート