有限アーベル群の指標について

有限アーベル群の指標について勉強したことをまとめました。目下Dirichlet指標を調べるために必要と思われる事実について書きます。

参考文献
予備知識
指標の定義
指標の拡張
指標群の構造
指標の和
おまけ:Dirichlet指標
おわりに

参考文献

A Course in Arithmetic (Graduate Texts in Mathematics, 7)

リンク

予備知識

以下、有限アーベル群 $G$ の演算は掛け算の形で書きます。群論の知識が必要になり、とくに次の定理を認めて話を進めます*1。

予備知識1(有限アーベル群の構造定理)

$G$ が有限アーベル群なら、有限個の巡回群 $G_1,\dots ,G_l$ が存在して
\begin{align*}
G \simeq G_1 \times \cdots \times G_l
\end{align*}が成立する。

詳しくは有限アーベル群の構造定理 - Wikipediaを参照。

指標の定義

有限アーベル群 $G$ に対し、 $G$ から乗法群 $\mathbb{C}^{\times}=\mathbb{C}\setminus \{ 0\}$ への準同型
\begin{align*}
\chi : G \to \mathbb{C}^{\times}
\end{align*}を $G$ の指標と呼びます。 $G$ の二つの指標 $\chi_1, \chi_2$ に対してその積を
\begin{align*}
(\chi_1 \chi_2 ) (g) := \chi_1 (g) \chi_2 (g) \quad (g \in G)
\end{align*}と定めます。

Prop2

$G$ が位数 $n$ の有限アーベル群で $\chi$ が $g$ の指標なら
\begin{align*}
\chi (g)^n=1 \quad (\forall g \in G)
\end{align*}が成り立つ。つまり $\chi$ の像は1の $n$ 乗根。

証明 $g\in G$ に対して、 $g$ が生成する部分群 $\langle g \rangle = \{ 1, g , g^2 ,\dots \}$ を考える。 $| \langle g \rangle|=m$ とすると $g^m=1$ であり、Lagrangeの定理により $m|n$ がわかる。したがって
\begin{align*}
g^n=(g^{m})^{n/m} =1
\end{align*}となる。指標の準同型性より
\begin{align*}
\chi (g)^n = \chi (g^n) =1
\end{align*}が従う。(QED)

Prop3

有限アーベル群 $G$ の指標全体の集合を $\widehat{G}$ とすると、 $\widehat{G}$ は指標の積で有限アーベル群をなす。これを $G$ の指標群という。

証明指標の積が閉じた演算であり、結合法則と可換性を満たすことは明らか。単位元は自明な指標
\begin{align*}
\chi_0 (g):=1 \quad (g \in G)
\end{align*}で与えられ、 $G$ の指標 $\chi$ の逆元は複素共役
\begin{align*}
\bar{\chi}(g):=\overline{\chi (g)} \quad (g \in G)
\end{align*}で与えられる。 $G$ の元は有限個であり、1のべき根( $G$ の位数乗根)も有限個であるから、それらの対応である指標も有限個であるから、 $\widehat{G}$ は有限アーベル群となる。(QED)

指標の拡張

有限アーベル群 $G$ の部分群の指標について考えます。

Thm4(指標の拡張)

$G$ が有限アーベル群、 $H$ をGの部分群とする。このとき任意の $H$ の指標 $\chi$ に対して、 $G$ の指標 $\tilde{\chi}$ が存在して
\begin{align*}
\chi (h)=\tilde{\chi}(h) \quad (\forall h \in H)
\end{align*}が成り立つ。つまり $\chi$ の $G$ への指標の拡張が存在する。

証明商集合の元の個数 $| G/H |$ に関する帰納法で証明する。

( $| G/H |=1$ のとき) このとき $H=G$ であるから $\tilde{\chi}:=\chi$ とすればよい。

以下 $| G/H |\le k$ で主張が成立していると仮定し、 $| G/H |=k+1$ の時をいくつかのStepに分けて示す。

(Step1)このとき $g \in G \setminus H$ となる $g$ を取ることができる。少なくとも
\begin{align*}
g^{|G|}=1 \in H
\end{align*}であるから、 $g^n \in H$ となる自然数 $n\ge 2$ が存在する。そのような $n$ で最小であるものを $n_0$ とし、さらに $\omega$ を方程式
\begin{align*}
\omega^{n_0} =\chi (g^{n_0})
\end{align*}の一つの根とする。 $g$ と $H$ が生成する $G$ の部分群を $H'$ とすると、 $n_0$ の最小性より $H'$ の元 $h'$ は
\begin{align*}
h'=hg^a \quad (h \in H, 0 \le a {<} n_0)
\end{align*}の形に一意に表示することができる。 $H'$ から $\mathbb{C}^{\times}$ への写像 $\chi'$ を
\begin{align*}
\chi' (h g^a):= \chi (h) \omega^a
\end{align*}と定める。

(Step2) 上で構成した $\chi'$ が $H'$ の指標であること、つまり群準同型写像であることを示す。 $h_1,h_2 \in H, 0 \le a_1,a_2 {<} n_0$ として
\begin{align*}
\chi' (h_1g^{a_1} \cdot h_2 g^{a_2} ) = \chi' (h_1g^{a_1})\chi'(h_2g^{a_2})
\end{align*}を示せばよい。
$a+a' {<} n_0$ のときは
\begin{align*}
\chi'(h_1g^{a_1} \cdot h_2 g^{a_2} )&=\chi' (h_1h_2)\omega^{a_1+a_2} \notag \\
&=\chi' (h_1g^{a_1})\chi'(h_2g^{a_2})
\end{align*}となる。一方 $a_1+a_2 \ge n_0$ のときは $0 \le a_1+a_2-n_0 {<} n_0$ であるから
\begin{align*}
\chi'(h_1g^{a_1} \cdot h_2 g^{a_2} )&=\chi' (h_1h_2g^{n_0})\omega^{a_1+a_2-n_0}
\end{align*}であり $\omega^{-n_0}\chi (g^{n_0})=1$ に注意して
\begin{align*}
=\chi' (h_1g^{a_1})\chi'(h_2g^{a_2})
\end{align*}を得る。したがって $\chi'$ は準同型になる。

(Step3) $\chi'$ はその定義より
\begin{align}
\chi' (h)=\chi (h) \quad (\forall h \in H) \label{sihyou1}
\end{align}を満たす。さらに $H'$ は $H \subsetneq H' \subset G$ なる部分群であるから
\begin{align*}
{|} G/H' | {<} {|} G/H | =k+1
\end{align*}となる。したがって帰納法の仮定より $\chi'$ の $G$ への拡張 $\tilde{\chi}$ が存在する。この $G$ の指標 $\tilde{\chi}$ は\eqref{sihyou1}より明らかに $\chi$ の拡張になっている。(QED)

指標群の構造

群としての指標の性質を考えていきます。目標は有限アーベル群の指標群は常にもとの群と同型であることを証明することです。

Lem5

$k$ 個の有限アーベル群 $G_1, \dots ,G_k$ とその直積群に対して
\begin{align*}
\widehat{G_1 \times \cdots \times G_k} \simeq \widehat{G_1}\times \cdots \times \widehat{G_k}
\end{align*}が成立。

証明 2個のときに証明すればあとは帰納的に成り立つので $k=2$ として証明する。 $\chi (g_1, g_2)$ を直積群 $G_1 \times G_2$ の指標とする。このとき $G_1$ の指標 $\chi_1$ と $G_2$ の指標 $\chi_2$ をそれぞれ
\begin{align*}
\chi_1 (g_1) := \chi (g_1, 1) \quad &(g_1 \in G_1)\\
\chi_2 (g_2) := \chi (1, g_2) \quad &(g_2 \in G_2)
\end{align*}で定め、写像 $\rho : \widehat{G_1 \times G_2} \to \widehat{G_1}\times \widehat{G_2}$ を
\begin{align*}
\rho (\chi )= (\chi_1, \chi_2) \quad ( \chi \in \widehat{G_1 \times G_2})
\end{align*}で定める。

( $\rho$ が準同型であること) 自明である。

( $\rho$ が単射であること) $\; \mathrm{ker}(\rho )=\{ \mathrm{自明な指標} \}$ であることを示せばよい。もし $\chi_1,\chi_2$ のどちらも自明な指標であるなら任意の $g_1 \in G_1, g_2 \in G_2$ に対して
\begin{align*}
\chi (g_1, g_2) = \chi (g_1,1) \chi (1, g_2)= \chi_1(g_1) \chi_2 (g_2) =1
\end{align*}となる。したがって $\chi$ は自明な指標であるから $\rho$ は単射である。

( $\rho$ が全射であること) $\; (\chi_1 ,\chi_2 ) \in \widehat{G_1}\times \widehat{G_2}$ に対して $\chi (g_1,g_2) =\chi _1(g_1) \chi_2 (g_2)$ と定めれば $\rho (\chi )=(\chi_1, \chi_2)$ となるので全射である。

以上より $\rho$ は同型写像であるから主張が従う。(QED)

Lem6

$G$ が位数 $n$ の巡回群なら
\begin{align*}
G \simeq \widehat{G}
\end{align*}が成立。

証明 $G$ の生成元を $g$ とすれば $G=\langle g \rangle$ である。位数 $n$ の巡回群は加法群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ と同型なのでLem6を示すためには
\begin{align*}
\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \simeq \widehat{G}
\end{align*}を証明すればよい。これを準同型定理を用いて示す。 $\zeta = \mathrm{exp}((2 \pi i)/ n)$ と置き、 $a \in \mathbb{Z}$ に対して $G$ の指標 $\chi_a$ を
\begin{align*}
\chi_a (g) = \zeta^a
\end{align*}となるもので定め、さらに準同型写像 $\rho : \mathbb{Z} \to \widehat{G}$ を
\begin{align*}
\rho (a) := \chi_a
\end{align*}で定める。 $\zeta$ が1の原始 $n$ 乗根であることから $\mathrm{ker}(\rho )=n\mathbb{Z}$ が従う。一方で任意の $G$ の指標 $\chi$ に対して、Prop2より $\chi (g)$ は1の $n$ 乗根であるから、ある整数 $a$ で
\begin{align*}
\chi (g) =\zeta^a
\end{align*}となる。これは $\rho (a)= \chi$ を意味するから $\rho$ は全射準同型である。したがって準同型定理を用いれば
\begin{align*}
\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \simeq \widehat{G}
\end{align*}が従う。(QED)

以上の補題より目標としていた同型を示すことができます。

Thm7

有限アーベル群 $G$ に対して
\begin{align*}
G \simeq \widehat{G}
\end{align*}が成立。

証明予備知識1を用いればGは有限個の巡回群によって
\begin{align*}
G \simeq G_1 \times \cdots \times G_l
\end{align*}と表せる。したがってLem5とLem6を用いれば
\begin{align*}
\widehat{G} &\simeq \widehat{ G_1 \times \cdots \times G_l} \\
&\simeq \widehat{G_1}\times \cdots \times \widehat{G_l} \\
&\simeq G_1 \times \cdots \times G_l \simeq G
\end{align*}が言える。(QED)

指標の和

ここでは非常に重要な二つのタイプの指標の和について考えます。まず一つ目です。

Thm8

$\chi$ を $G$ の指標とする。このとき
\begin{align*}
\sum_{g \in G} \chi (g) =
\begin{cases}
{|}G | \quad &( \chi : \mathrm{自明な指標}) \\
0 \quad &( \mathrm{その他})
\end{cases}\end{align*}が成立。

証明自明な指標の場合は明らかである。 $\chi$ が自明な指標ではないとすると $\chi (a) \neq 1$ となる $a\in G$ が存在する。 $g \mapsto ag$ なる $G$ の間の写像が全単射であることから
\begin{align*}
\chi (a) \sum_{g \in G} \chi (g) = \sum_{g \in G} \chi (g)
\end{align*}となるが、 $\chi (a) \neq 1$ より
\begin{align*}
\sum_{g \in G} \chi (g) =0
\end{align*}でなければならない。(QED)

二つ目のタイプを考える前に一つ補題を証明します。

Lem9

$G$ を有限アーベル群とし、 $g\in G$ に対し $\widehat{G}$ の指標 $\rho_g$ を
\begin{align*}
\rho_g (\chi) = \chi (g) \quad (\chi \in \widehat{G})
\end{align*}で定める。このとき写像
\begin{align*}
\rho : G \to \widehat{\widehat{G}}\;, \;g \mapsto \rho_g
\end{align*}は同型写像である。

証明 $\rho$ が $G$ から $\widehat{\widehat{G}}$ への準同型であることは明らか。Thm7より $G \simeq \widehat{\widehat{G}}$ であるから、特に ${|}G{|} = {|} \widehat{\widehat{G}} {|}$ がわかる。したがって $\rho$ が単射であることを示せばLem9が証明される。
まず $|G|=1$ なら $\rho$ が単射であることは明らか。 $|G| >1$ とする。このとき
\begin{align}
g \neq 1 \Rightarrow \exists \chi \in \widehat{G} \; \mathrm{s.t.}\; \rho_g (\chi) \neq 1 \label{sihyou2}
\end{align}を示す。 $g$ が生成する $G$ の巡回部分群 $H=\langle g \rangle$ を考えると、 $g \neq 1$ より $| \widehat{H} | =|H| \ge 2$ であるから $H$ の非自明指標 $\chi$ が存在する。一方で、もし $\chi (g)=1$ となるなら $\chi$ は $H$ の自明指標となるから、 $\chi (g) \neq 1$ となる $H$ の指標が存在しなければならない。Thm4よりこの $H$ の指標 $\chi$ は $G$ の指標 $\tilde{\chi}$ に拡張され
\begin{align*}
\rho_g (\tilde{\chi})=\tilde{\chi} (g)=\chi (g) \neq 1
\end{align*}となるから\eqref{sihyou2}が示された。\eqref{sihyou2}の対偶を取れば $\mathrm{ker}(\rho )=\{ 1 \}$ であることがわかる。したがって $\rho$ は単射である。
以上より $\rho$ が同型写像であることが示された。(QED)

Lem9より二つ目のタイプの指標の和を計算できます。

Thm10

$g\in G$ に対し
\begin{align*}
\sum_{\chi \in \widehat{G}}\chi (g) =
\begin{cases}
{|} G | \quad &(g=1)\\
0 \quad &(g\neq 1)
\end{cases}
\end{align*}が成り立つ。

証明 $g=1$ のときは明らか。 $g\neq 1$ とすると、Lem9で構成した $\rho_g$ は非自明な $\widehat{G}$ の指標となる。したがってThm8を用いれば
\begin{align*}
\sum_{\chi \in \widehat{G}} \rho_g (\chi )=0
\end{align*}がわかる。 $\rho_g$ の定義よりこれはThm10を意味している。(QED)

おまけ:Dirichlet指標

最後にほんの少しDirichlet指標と呼ばれる特別な指標について考えます。
Dirihclet指標は次のように定義されます。

Def11(Dirichlet指標)

$q$ を整数とする。乗法群 $(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^{\times}$ 上の指標をmod $q$ のDirichlet指標と呼ぶ。

Dirichlet指標は素数分布論においてDirichletの素数定理をはじめとした等差数列中の素数に関する結果の証明などに用いられます。Dirichlet指標に関する細かい議論は次の記事にまとめてありますので興味がありましたらぜひ読んで見てください。
mathnote.info

さてDirichlet指標は特別な群の指標なので、群の指標に関する上述の一般的な結果が全て適用できます。ここでは先の結果から即座に得られるDirichlet指標の積分解を与えます。

Thm12(Dirichlet指標の積分解)

$q_1,q_2$ を互いに素な整数とし $q=q_1q_2$ とする。このとき任意のmod $q$ のDirichlet指標 $\chi$ に対してmod $q_1$ のDirichlet指標 $\chi_1$ とmod $q_2$ のDirichlet指標 $\chi_2$ が一意に存在して
\begin{equation*}
\chi(n+q\mathbb{Z})=\chi_1(n+q_1\mathbb{Z})\chi_2(n+q_2\mathbb{Z}) \quad (\forall n\in \mathbb{Z})
\end{equation*}が成立する。

証明　中国剰余定理より
\begin{equation*}
(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^{\times} \simeq (\mathbb{Z}/q_1\mathbb{Z})^{\times}\times (\mathbb{Z}/q_2\mathbb{Z})^{\times}
\end{equation*}が成立する。したがってLem5より
\begin{align}
(\widehat{\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}})^{\times} &\simeq
\widehat{(\mathbb{Z}/q_1\mathbb{Z})^{\times}\times
(\mathbb{Z}/q_2\mathbb{Z})^{\times}} \notag \\
&\simeq (\widehat{\mathbb{Z}/q_1\mathbb{Z}})^{\times}\times (\widehat{\mathbb{Z}/q_2\mathbb{Z}})^{\times} \label{simeq}
\end{align}が得られる。これらの同型を与える同型写像を具体的に計算することで定理を証明する。
まず\eqref{simeq}の一つ目の同型について考える。写像 $\rho^{\ast}$ を
\begin{array}{cccc}
\rho^{\ast}\; : & (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^{\ast} & \longrightarrow & (\mathbb{Z}/q_1\mathbb{Z})^{\times}\times (\mathbb{Z}/q_2\mathbb{Z})^{\times} \\
& n+q\mathbb{Z} &\longmapsto & (n+q_1\mathbb{Z}, n+q_2\mathbb{Z})
\end{array}と定めると $\rho^{\ast}$ は同型写像である(中国剰余定理)。 $\chi \in \widehat{(\mathbb{Z}/q_1\mathbb{Z})^{\times}\times (\mathbb{Z}/q_2\mathbb{Z})^{\times}}$ に対して $\rho_1(\chi)$ を
\begin{array}{cccc}
\rho_1(\chi) \; : &(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^{\times} & \longrightarrow & \mathbb{C}\ \setminus \{ 0\} \\
& (n+q\mathbb{Z}) &\longmapsto &\chi \circ \rho^{\ast} (n+q\mathbb{Z})
\end{array}と定めれば $\rho_1(\chi)$ はmod $q$ のDirichlet指標であり、この写像が
\begin{equation*}
\rho_1\; : \: \widehat{(\mathbb{Z}/q_1\mathbb{Z})^{\times}\times
(\mathbb{Z}/q_2\mathbb{Z})^{\times}} \overset{\sim}{\longrightarrow} (\widehat{\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}})^{\times}
\end{equation*}なる同型を与えることは容易に確かめられる。
次に\eqref{simeq}の二つ目の同型写像を考える。これはLem5の証明で与えた同型写像と同じものを考えれば
\begin{array}{cccc}
\rho_2\; : & (\widehat{\mathbb{Z}/q_1\mathbb{Z}})^{\times}\times
(\widehat{\mathbb{Z}/q_2\mathbb{Z}})^{\times} &\overset{\sim}{\longrightarrow} &\widehat{(\mathbb{Z}/q_1\mathbb{Z})^{\times}\times
(\mathbb{Z}/q_2\mathbb{Z})^{\times}} \\
& (\chi_1,\chi_2) & \longmapsto & \rho_2(\chi_1,\chi_2)
\end{array}ここで
\begin{equation*}
\rho_2(\chi_1,\chi_2)(n+q_1\mathbb{Z},n+q_2\mathbb{Z}):=\chi_1(n+q_1\mathbb{Z})\chi_2(n+q_2\mathbb{Z})
\end{equation*}と定められる写像 $\rho_2$ が同型を与えることがわかる。
二つの同型写像 $\rho_1,\rho_2$ の合成写像 $\rho=\rho_1 \circ \rho_2$ は明らかに
\begin{equation*}
\rho\; : \; (\widehat{\mathbb{Z}/q_1\mathbb{Z}})^{\times}\times
(\widehat{\mathbb{Z}/q_2\mathbb{Z}})^{\times} \overset{\sim}{\longrightarrow }(\widehat{\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}})^{\times}
\end{equation*}なる同型を与える。ここでmod $q_1$ のDirichlet指標 $\chi_1$ とmod $q_2$ のDirichlet指標 $\chi_2$ に対して $\rho(\chi_1,\chi_2)$ を具体的に計算すると、
\begin{equation*}
\rho(\chi_1,\chi_2)(n+q\mathbb{Z})=\chi_1(n+q_1\mathbb{Z})\chi_2(n+q_2\mathbb{Z}) \quad (\forall n \in \mathbb{N})
\end{equation*}であるから $\rho$ の同型性より主張が従う。(QED)

Thm12では二つの互いに素な数に対する分解を与えましたが、素因数分解を考えることでThm12の系として次の分解が得られます。

Cor13

$\chi$ をmod $q$ のDirichlet指標とする。 $q$ の素因数分解が
\begin{equation*}
q=p_1^{a_1}\cdots p_t^{a_t} \quad (p_i:\mathrm{素数},a_i\in \mathbb{N})
\end{equation*}で与えられるなら、mod $p_i^{a_i}$ のDirichlet指標 $\chi_i \; (i=1,\dots ,t)$ が一意に存在して
\begin{equation*}
\chi(n+q\mathbb{Z})=\chi_1(n+p_1^{a_1}\mathbb{Z})\cdots \chi_t(n+p_t^{a_t}\mathbb{Z}) \quad (\forall n\in \mathbb{N})
\end{equation*}と表せる。

おわりに

有限アーベル群の指標について勉強しました。個人的に具体的な例としてDirichlet指標に興味がありますが、一般に群として扱うことより分かりやすい議論ができます。

*1:この記事内の内容はこの定理を経由せずに証明することも可能。

プライムス

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