Dirichlet指標のGauss和について

Dirichlet指標のGauss和について紹介します。目標はGauss和の絶対値を求めることです。

参考文献

(1) Multiplicative Number Theory (Graduate Texts in Mathematics 74)

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(2) 素数とゼータ関数 (共立講座 数学の輝き)

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Dirichlet指標の性質については次の記事を参照
mathnote.info

Dirichlet指標のGauss和の定義

を自然数とし
\begin{align*}
e_q(n)=e^{(2\pi i n)/q}
\end{align*}と置きます。これは明らかに1の 乗根になっています。mod のDirichlet指標 に対しGauss和 を
\begin{align*}
\tau (\chi) =\sum_{n=1}^q \chi (n)e_q(n)
\end{align*}と定義します。こいつが今回のメインテーマです。

後で必要になるので1の 乗根に関する補題を一つ示しておきます。

Lem1

を1の 乗根とする。このとき
\begin{align*}
\sum_{i=0}^{q-1}\zeta_q^i =
\begin{cases}
q \quad &(\zeta_q =1)\\
0 \quad &(\zeta_q\neq 1)
\end{cases}
\end{align*}が成り立つ。

証明 のときは明らか。のときは、等比数列の和の公式をもちいれば
\begin{align*}
\sum_{i=0}^{q-1}\zeta_q^i = \frac{1-\zeta_q^q}{1-\zeta} =0
\end{align*}となる。 (QED)

Gauss和について次のことが簡単に示せます。

Prop2

任意のDirichlet指標に対し
\begin{align*}
\tau (\bar{\chi} )=\chi (-1) \overline{\tau (\chi )}
\end{align*}が成り立つ。特に である。

証明　定義から
\begin{align*}
\overline{\tau(\bar{\chi})}&=\sum_{h=1}^q\chi(n)e_q(-n) \\
&=\sum_{h=1}^q\chi(-n)e_q(n)=\chi(-1)\tau(\chi)
\end{align*}となるので主張が従う。(QED)

便利な公式

Gauss和を用いる際に頻出の便利公式を紹介します。次の公式は目標の公式のプロトタイプです。

Prop3

をmod のDirichlet指標とする。このとき となる自然数 に対して
\begin{align*}
\chi (n)\tau (\bar{\chi})=\sum_{h=1}^q\bar{\chi}(h)e_q(nh)
\end{align*}が成り立つ。

証明 Dirichlet指標の絶対値は1であるから である。したがって のmod での逆元 をとれば がなりたつ。したがって
\begin{align*}
\chi (n)\tau (\bar{\chi})
&=\sum_{m=1}^q\chi (n) \bar{\chi} (m)e_q(m) \\
&=\sum_{m=1}^q \bar{\chi}(n^{-1}m)e_q(m)
\end{align*}と置けば
\begin{align*}
\quad \quad=\sum_{h=1}^q\bar{\chi}(h) e_q(nh)
\end{align*}となる。(QED)

次が目標の便利公式です。

Thm4

をmod の原始的Dirichlet指標とする。任意の自然数 に対して\begin{align}
\chi (n)\tau (\bar{\chi})=\sum_{h=1}^q\bar{\chi}(h)e_q(nh) \label{GSF}
\end{align}が成り立つ。

証明のときは補題2であるから と仮定する。 を既約分数で表示したものを と表す。もし なら は の倍数であるから\eqref{GSF}の両辺は0になる。したがって以下 と仮定して証明をする。このとき\eqref{GSF}の左辺は明らかに0であるから
\begin{align}
\sum_{h=1}^q\bar{\chi}(h)e_q(nh)=\sum_{h=1}^q\bar{\chi}(h)e_{q_1}(n_1h)=0 \label{thm4 claim}
\end{align}を示せば定理4が従う。以下\eqref{thm4 claim}を示す。
と置き、を
\begin{align}
h=uq_1+v \quad (0 \le u \le q_2-1, 1 \le v \le q_1) \notag
\end{align}とパラメータ付ける。このとき に注意して
\begin{align*}
\sum_{h=1}^q\bar{\chi}(h)e_{q_1}(n_1h)
=\sum_{u=0}^{q_2-1}\sum_{v=1}^{q_1}\bar{\chi}(uq_1+v)e_{q_1}(n_1v)
\end{align*}したがって\eqref{thm4 claim}は
\begin{align*}
S(v)=\sum_{u=0}^{q_2-1}\bar{\chi}(uq_1+v) =0 \quad (\forall v)
\end{align*}に帰着される。を だけシフトすると
\begin{align}
S(v+q_1)&=\sum_{u=1}^{q_2}\bar{\chi}(uq_1+v) \notag \\
&=\sum_{u=1}^{q_2-1}\bar{\chi}(uq_1+v)+\bar{\chi}(v) \notag\\
& =S(v) \notag
\end{align}となるので は周期 を持つことがわかる。今 は原始指標と仮定しているので、原始指標の定義とDirichlet指標について - プライムスのProp7より
\begin{equation*}
(c,q)=1,\; c\equiv 1 \; (\mathrm{mod}\; q_2),\; \chi(c)\neq 1
\end{equation*}となる整数 が存在する。このとき適当な整数 を用いて と書ける。以上より
\begin{align*}
\bar{\chi}(c)S(v)&=\sum_{u=0}^{q_2-1}\bar{\chi}(uq_1+v+ukq+kvq_1)\\
&=\sum_{u=0}^{q_2-1}\bar{\chi}(uq_1+v+kvq_1)\\
&=S(v+kvq_1)=S(v)
\end{align*} より が従う。(QED)

Gauss和の絶対値

Thm4は使い道がいろいろありますが、ここでは応用として原始指標に対するGauss和の絶対値を計算してみたいと思います。

Thm5

をmod の原始的Dirichlet指標とすると
\begin{align*}
{|} \tau (\chi)|=\sqrt{q}
\end{align*}が成り立つ。

証明 Thm4より任意の に対して
\begin{align}
{|}\chi (n)\tau (\bar{\chi} )|^2 = \sum_{h_1=1}^q\sum_{h_2=1}^q\bar{\chi}(h_1)\chi (h_2)e_q(n(h_1-h_2) ) \notag
\end{align}これを に渡って足し合わせれば
\begin{align}
\varphi (q) {|}\tau (\bar{\chi})|^2=\sum_{h_1,h_2}\bar{\chi}(h_1)\chi (h_2) \Big{(}\sum_{n=1}^q e_q(n(h_1-h_2) ) \Big{)} \notag
\end{align}最後の和は1の 乗根に渡る和であるからLem1より のときのみ値を持ち、その値は となる。したがって
\begin{align}
\varphi (q) {|}\tau (\bar{\chi})|^2= q\sum_{h=1}^q{|}\chi (h)|^2=q\varphi (q) \notag
\end{align}が得られ、これとProp2より主張が従う。(QED)

おわりに

ここに書いてある程度Gauss和について知っているとL関数の関数等式や平方剰余の相互法則が示せます。素数分布論などでは必須の概念です。